【高1数学】a^2＋b^2 が ab で割り切れるとき (a^2＋b^2)/ab の値は？数字が与えられていないのに決まる整数問題

今日の1問は、数字が1つも出てこない整数の問題です。
それなのに、答えは1つに決まります。ポイントは「割り切れる」という条件です♪

今日の問題

a、b を正の整数とし、a² ＋ b² が ab で割り切れるとする。このとき、(a² ＋ b²)/ab の値を求めよ。

まずヒント

a と b の最大公約数を d として、a ＝ dx、b ＝ dy（x と y は互いに素）とおいてみましょう。

そうすると、分数の d がきれいに消えます。

解き方

ステップ1　最大公約数でくくる

a と b の最大公約数を d とし、a ＝ dx、b ＝ dy とおきます。x と y は互いに素（1以外の公約数がない）です。

(a² ＋ b²)/ab ＝ (x² ＋ y²)/xy になります。この値を整数 k とします。

ステップ2　x が 1 だと分かる

x² ＋ y² ＝ kxy です。右辺は x の倍数なので、x² ＋ y² も x の倍数です。

x² は x の倍数なので、y² も x の倍数になります。

x と y は互いに素なので、x は 1 しかありえません。

ステップ3　y も 1 だと分かる

同じように考えると、y も 1 しかありえません。

ステップ4　値を求める

x ＝ y ＝ 1 なので a ＝ b です。このとき (a² ＋ b²)/ab ＝ 2a²/a² ＝ 2 です。

答え

2

a ＝ b のときだけ条件を満たし、値は必ず 2 になります。

ひらめきで解く方法

(a² ＋ b²)/ab ＝ a/b ＋ b/a と書けます。この値は 2 以上で、a ＝ b のときにちょうど 2 になります。

「割り切れるのは a ＝ b のときだけ」と見抜けば、値が 2 に決まる理由がすっきり分かります。

間違えやすいところ

• 「互いに素」とは、1 以外に共通の約数がないことです
• x が y² を割り切り、x と y が互いに素なら x ＝ 1、という流れが大事です
• a ＝ 1、b ＝ 2 のように、割り切れない組を試して「条件を満たさない」ことも確かめておくと安心です

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