今日の1問は、見た目はシンプルな2次関数の問題です。
ポイントは場合分け。軸の位置によって、最小値と最大値の取り方が変わります♪
今日の問題
y ＝ x2 ＋ ax ＋ b について、0 ≦ x ≦ 4 における最小値が 1、最大値が 10 である。このとき、a、b の値をすべて求めよ。
まずヒント
平方完成すると、y ＝ (x ＋ a/2)2 − a2/4 ＋ b。軸は x ＝ −a/2 です。
軸が範囲 0 ≦ x ≦ 4 の左、中、右のどこにあるかで、場合分けします。
解き方
ステップ1 軸が範囲の左にあるとき（−a/2 ＜ 0、つまり a ＞ 0）
グラフは範囲内で右上がりなので、最小値は x ＝ 0 のときの b。b ＝ 1 です。
最大値は x ＝ 4 のとき 16 ＋ 4a ＋ b ＝ 10 なので、16 ＋ 4a ＋ 1 ＝ 10 より a ＝ −7/4。これは a ＞ 0 に反するので、解なし。
ステップ2 軸が範囲の中にあるとき（0 ≦ −a/2 ≦ 4、つまり −8 ≦ a ≦ 0）
最小値は頂点で、b − a2/4 ＝ 1 です。最大値は、軸から遠い端（x ＝ 0 か x ＝ 4）のほうで取ります。
軸が x ＝ 2 より左（−4 ≦ a ≦ 0）のとき、x ＝ 4 のほうが遠いので最大値は 16 ＋ 4a ＋ b ＝ 10。b ＝ −6 − 4a を b − a2/4 ＝ 1 に入れると、a2 ＋ 16a ＋ 28 ＝ 0、つまり (a ＋ 2)(a ＋ 14) ＝ 0。−4 ≦ a ≦ 0 を満たすのは a ＝ −2 で、b ＝ 2。
軸が x ＝ 2 より右（−8 ≦ a ＜ −4）のとき、x ＝ 0 のほうが遠いので最大値は b ＝ 10。b − a2/4 ＝ 1 より a2 ＝ 36。この範囲では a ＝ −6 で、b ＝ 10。
ステップ3 軸が範囲の右にあるとき（−a/2 ＞ 4、つまり a ＜ −8）
最小値は x ＝ 4 のとき 16 ＋ 4a ＋ b ＝ 1、最大値は x ＝ 0 のとき b ＝ 10。
すると a ＝ −25/4 になりますが、これは a ＜ −8 に反するので、解なし。
ステップ4 確かめる
(a, b) ＝ (−2, 2) のとき y ＝ x2 − 2x ＋ 2。x ＝ 1 で最小値 1、x ＝ 4 で最大値 10 です。
(a, b) ＝ (−6, 10) のとき y ＝ x2 − 6x ＋ 10。x ＝ 3 で最小値 1、x ＝ 0 で最大値 10 です。
答え
(a, b) ＝ (−2, 2)、(−6, 10)
答えは2組あります。
ひらめきで解く方法
2次関数の最大値・最小値は、「軸の位置」と「範囲の真ん中（今回は x ＝ 2）」の2つを基準に場合分けします。
下に凸のグラフでは、最小値は軸（頂点）か範囲の端、最大値は軸から遠い端で取る、と整理しておくと迷いません。
間違えやすいところ
- 最大値が x ＝ 0 と x ＝ 4 のどちらで決まるかを、軸が 2 より左か右かで見分けます
- 解が出たら、必ず場合分けの範囲に入っているか確かめます（a ＝ −14 や a ＝ −7/4 は不適）
- 答えは1組ではなく、すべて求める問題です。2組あります
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