今日の1問は、中3数学。斜めの線が2本交わっていて複雑そうに見えますが、合同と相似に気づけば、面積が見えてきます♪
今日の問題
1辺 12cm の正方形 ABCD がある。辺 BC，CD の中点をそれぞれ E，F とし、AE と BF の交点を P とする。このとき、四角形 PECF の面積を求めよ。
まず1分、ペンを持って考えてみよう。ひらめいたら答えをメモしてから、下へどうぞ。
まずヒント
四角形 PECF は形が少し複雑なので、直接は求めにくそうです。そんなときは、「大きな三角形から小さな三角形を引く」と考えてみましょう。三角形 BCF の中に、三角形 BPE がすっぽり入っています。
解き方を見る(自分でひとあし考えてからどうぞ)
解き方
ステップ1 四角形を三角形の差で表す
四角形 PECF ＝ 三角形 BCF － 三角形 BPE です。三角形 BCF は、底辺 BC ＝ 12cm、高さ CF ＝ 6cm の直角三角形なので、面積は 12 × 6 ÷ 2 ＝ 36cm2 です。
ステップ2 AE と BF が垂直に交わることを示す
三角形 ABE と三角形 BCF で、AB ＝ BC ＝ 12cm、BE ＝ CF ＝ 6cm、∠ABE ＝ ∠BCF ＝ 90° なので、2辺とその間の角が等しく、合同です。よって ∠BAE ＝ ∠CBF となります。すると ∠ABP ＋ ∠BAP ＝ ∠ABP ＋ ∠CBF ＝ ∠ABC ＝ 90° なので、三角形 ABP の残りの角 ∠APB ＝ 90° です。つまり AE ⊥ BF です。
ステップ3 相似を使って三角形 BPE の面積を求める
三角形 BPE と三角形 ABE は、∠BPE ＝ ∠ABE ＝ 90° で、∠E が共通なので相似です。三平方の定理より AE ＝ √(122 ＋ 62) ＝ 6√5 cm なので、相似比は BE : AE ＝ 6 : 6√5 ＝ 1 : √5 です。面積比は相似比の2乗で 1 : 5 になります。三角形 ABE の面積は 12 × 6 ÷ 2 ＝ 36cm2 なので、三角形 BPE ＝ 36 ÷ 5 ＝ 36/5 cm2 です。
ステップ4 差を求める
四角形 PECF ＝ 36 － 36/5 ＝ 144/5 cm2 となります。
答えを見る
答え
144/5 cm2（＝ 28.8cm2）
分数のままでも、小数の 28.8cm2 でも正解です。
ここまで来たあなたは、もう「できた」の人。明日の1問もお楽しみに♪
おまけ豆知識:正方形の辺の中点と頂点を結んだ2本の線(今日の AE と BF)は、辺の長さが何cmでも、いつも垂直に交わります。
おまけ:もうひとつの道もあるよ
座標を使う方法もあります。A を原点、B(12, 0)、C(12, 12)、D(0, 12) とすると、E(12, 6)、F(6, 12) です。直線 AE は y ＝ x/2、直線 BF は y ＝ －2x ＋ 24 なので、交点 P は x/2 ＝ －2x ＋ 24 を解いて P(48/5, 24/5) とわかります。三角形 BPE は、底辺 BE ＝ 6、高さは P と直線 BC（x ＝ 12）の距離 12/5 なので、面積は 6 × 12/5 ÷ 2 ＝ 36/5 です。あとは 36 － 36/5 ＝ 144/5 で、同じ答えになります。
間違えやすいところ
- 相似比と面積比をまちがえる。相似比が 1 : √5 のとき、面積比は 1 : 5 です（2乗になります）。
- AE ⊥ BF に気づかず、角度が直角かどうかを確かめないまま相似だと決めてしまう。
- 四角形 PECF を直接求めようとして、図形が複雑になってしまう。三角形の差で考えるのがコツです。
- 単位を cm ではなく cm2 と書くのを忘れる。
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