【中3数学】(n^2＋5)÷(n＋3) が整数の平方数になる正の整数 n をすべて求めよ｜変形に気づけば解ける整数問題

今日の1問は、割り算の形をした整数問題です。
見た目は難しそうですが、中3で習う式の展開を使えば、候補を一気にしぼれます♪

今日の問題

正の整数 n について、(n² ＋ 5) ÷ (n ＋ 3) が整数の平方数になるとき、n をすべて求めよ。

まずヒント

n² ＋ 5 を (n ＋ 3) で割ったときの商と余りを考えてみましょう。

n² ＋ 5 ＝ (n ＋ 3)(n − 3) ＋ 14 と変形できます。

解き方

ステップ1　割り算の形に変形する

n² ＋ 5 ＝ (n ＋ 3)(n − 3) ＋ 14 なので、

(n² ＋ 5)/(n ＋ 3) ＝ n − 3 ＋ 14/(n ＋ 3) です。

ステップ2　整数になる条件

n − 3 は整数なので、全体が整数になるには、14/(n ＋ 3) が整数になる必要があります。

つまり、n ＋ 3 は 14 の約数です。

ステップ3　候補をしぼる

14 の約数は 1、2、7、14。n は正の整数なので n ＋ 3 は 4 以上です。

よって n ＋ 3 ＝ 7 または 14、つまり n ＝ 4 または 11 です。

ステップ4　平方数になるか確かめる

n ＝ 4 のとき、(16 ＋ 5) ÷ 7 ＝ 3。3 は平方数ではありません。

n ＝ 11 のとき、(121 ＋ 5) ÷ 14 ＝ 126 ÷ 14 ＝ 9 ＝ 3²。平方数です。

答え

n ＝ 11

n ＝ 4 は整数になりますが平方数ではないので、条件を満たすのは n ＝ 11 だけです。

ひらめきで解く方法

(n ＋ 3) で割る問題では、「分子を (n ＋ 3) の形で表す」のが定石です。n ＝ −3 を n² ＋ 5 に代入した値 14 が、余りになっています。

n が小さい順に試す方法もあります。n ＝ 1、2、3 …と計算していくと、整数になるのは n ＝ 4、11 だけだと気づけます。

間違えやすいところ

• 「整数になる」ことと「平方数になる」ことは別の条件です。両方を確かめましょう
• n ＋ 3 が 1 や 2 になると n が正の整数ではなくなります
• n ＝ 4 の結果 3 は、平方数（1、4、9、16 …）ではありません

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