【Instagram13万回再生】【中3数学】正方形 ABCD の内部の点 P で ∠PAB＝30°、∠PBA＝75° のとき ∠CPD は？図形センスが試される一問

この問題は、Instagramのリールで13万回以上再生された人気問題です。
今日の1問は、中3数学の図形問題。どこに注目するかで、解きやすさが大きく変わります♪

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今日の問題

正方形 ABCD の内部に点 P がある。∠PAB ＝ 30°、∠PBA ＝ 75° のとき、∠CPD の大きさを求めよ。

まず三角形 ABP の3つの角を調べてみましょう。

等しい角が見つかれば、等しい辺も見つかります。正方形の辺の長さもヒントです。

ステップ1　三角形 ABP の角を調べる

∠APB ＝ 180° − 30° − 75° ＝ 75° です。∠PBA ＝ ∠APB ＝ 75° なので、三角形 ABP は二等辺三角形で、AP ＝ AB です。

ステップ2　三角形 APD に注目する

正方形なので AB ＝ AD です。よって AP ＝ AD で、∠DAP ＝ 90° − 30° ＝ 60° です。頂角が 60° の二等辺三角形は正三角形なので、三角形 APD は正三角形で、DP ＝ AD、∠ADP ＝ 60° です。

ステップ3　三角形 DPC に注目する

∠PDC ＝ 90° − 60° ＝ 30° です。DP ＝ AD ＝ DC なので、三角形 DPC は DP ＝ DC の二等辺三角形です。

ステップ4　∠CPD を求める

頂角が 30° なので、∠DPC ＝ (180° − 30°) ÷ 2 ＝ 75° です。

75°

補助線は1本も必要ありません。

正方形の辺 AB、AD、DC は全部同じ長さです。この長さが AP、DP にも現れる、と気づくと一気に解けます。

途中で正三角形（三角形 APD）が現れるのが、この問題のいちばんのひらめきです。

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明日の1問もお楽しみに♪

あなたが作った一問が、誰かの「解きたい！」に変わるかもしれません。
投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。