【高校数学】√(x－2)＝x－4 を満たす実数 x をすべて求めよ｜最後の1手を忘れると不正解

今日の1問は、66%がひっかかるといわれるひっかけ問題です。
計算自体は難しくありません。でも、最後の1手を忘れると不正解になります♪

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今日の問題

実数 x について、√(x − 2) ＝ x − 4 を満たす x をすべて求めよ。

まずヒント

ルートを外すために、両辺を2乗してみましょう。

ただし、2乗すると「もともとは成り立たない値」まで解に入ってしまうことがあります。最後に必ず確かめます。

解き方

ステップ1　両辺を2乗する

x − 2 ＝ (x − 4)² ＝ x² − 8x ＋ 16

ステップ2　整理して解く

x² − 9x ＋ 18 ＝ 0 なので、(x − 3)(x − 6) ＝ 0 より x ＝ 3 または x ＝ 6 です。

ステップ3　元の式に代入して確かめる（最後の1手）

x ＝ 3 のとき：左辺は √(3 − 2) ＝ 1、右辺は 3 − 4 ＝ −1。1 ≠ −1 なので、x ＝ 3 は解ではありません。

x ＝ 6 のとき：左辺は √(6 − 2) ＝ 2、右辺は 6 − 4 ＝ 2。等しいので、x ＝ 6 は解です。

ステップ4　条件からも確かめる

√ の値は 0 以上なので、右辺の x − 4 も 0 以上でなければなりません。つまり x ≧ 4 が必要です。x ＝ 3 はこれを満たしません。

答え

x ＝ 6

x ＝ 3 は2乗したときに現れた、余分な解です。

ひらめきで解く方法

2乗すると、左辺が √A、右辺が −B のような「符号がちがう」式でも、A ＝ B² として成り立ってしまいます。その分だけ解が増えます。

先に「x − 4 ≧ 0」という条件をつけておけば、2乗の計算のあとで x ≧ 4 を満たす解だけを選べます。

間違えやすいところ

2乗して出てきた解は、必ず元の式に代入して確かめます
右辺 x − 4 がマイナスになる値は、√ の値（0 以上）と等しくなれません
x ＝ 3 と x ＝ 6 の両方を答えにしないようにします

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