今日の1問は、高1数学。一見すると、2 回のカードの組み合わせを全部調べたくなりますが、「積が偶数」という条件を整理すると、数えるパターンがぐっと少なくなります♪
今日の問題
1 から 13 までの番号が 1 つずつ書かれた 13 枚のカードがある。この中から 1 枚をひき、番号を記録してもとに戻し、もう 1 度 1 枚をひく。このとき、2 つの番号の積が偶数であったとき、和も偶数である確率を求めよ。
まずヒント
「積が偶数になるのは、どんな組み合わせのときか」を、偶数と奇数に分けて考えてみましょう。
1 から 13 までに、偶数は何枚、奇数は何枚あるでしょうか。
解き方
ステップ1 偶数と奇数の枚数を数える
1 から 13 までのカードは、奇数が 7 枚（1，3，5，7，9，11，13）、偶数が 6 枚（2，4，6，8，10，12）です。
ステップ2 積が偶数になる場合の数
2 回のひき方は全部で 13 × 13 ＝ 169 通りです。積が奇数になるのは 2 回とも奇数のときで 7 × 7 ＝ 49 通りなので、積が偶数になるのは 169 − 49 ＝ 120 通りです。
ステップ3 その中で和も偶数になる場合
積が偶数のとき、和も偶数になるのは「2 回とも偶数」の場合だけです（偶数 ＋ 奇数 は奇数、奇数 ＋ 奇数 は積が奇数になります）。2 回とも偶数のひき方は 6 × 6 ＝ 36 通りです。
ステップ4 条件つき確率を求める
求める確率は 36/120 ＝ 3/10 です。
答え
3/10
積が偶数になる 120 通りのうち、和も偶数になる 36 通りです。
ひらめきで解く方法
積が偶数になる場合は「偶数 × 偶数」「偶数 × 奇数」「奇数 × 偶数」の 3 パターンで、このうち和が偶数になるのは「偶数 × 偶数」だけです。
パターンごとの場合の数は、36，42，42 通りです。合計 120 通りのうち 36 通りなので、36/120 ＝ 3/10 です。
間違えやすいところ
- 「積が偶数」の場合の数を、169 通りの半分（約 85 通り）と思い込んでしまう。
- 2 回とも奇数の場合も「和が偶数」として数えてしまう（そのとき積は奇数なので、条件に合いません）。
- 分母を 169 通りのままにしてしまう（条件つき確率の分母は、条件を満たす 120 通りです）。
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