今日の1問は、図形センスが試される角度問題です。
補助線なしで解けたらすごい！ 中学3年生までの知識だけで解けます♪
今日の問題
図で、AB ∥ DC、AD ＝ BD、∠BAD ＝ 60°、∠BCD ＝ 40° である。このとき、∠x、∠y の大きさをそれぞれ求めよ。（∠x は ∠BDC、∠y は ∠DBC）
まずヒント
AD ＝ BD から、△ABD はどんな三角形でしょうか。
AB ∥ DC なので、「錯角が等しい」というルールも使えます。
解き方
ステップ1 △ABD を調べる
AD ＝ BD なので、△ABD は二等辺三角形で、底角が等しくなります。
∠ABD ＝ ∠BAD ＝ 60°。三角形の内角の和は 180° なので、∠ADB ＝ 180° − 60° − 60° ＝ 60° です。
3つの角がすべて 60° なので、△ABD は正三角形です。
ステップ2 ∠x を求める
AB ∥ DC なので、錯角は等しくなります。∠BDC ＝ ∠ABD です。
∠ABD ＝ 60° なので、∠x ＝ 60° です。
ステップ3 ∠y を求める
△BCD の内角の和は 180° です。∠BDC ＝ 60°、∠BCD ＝ 40° なので、
∠y ＝ ∠DBC ＝ 180° − 60° − 40° ＝ 80° です。
ステップ4 別の角度で確かめる
∠ABC ＝ ∠ABD ＋ ∠DBC ＝ 60° ＋ 80° ＝ 140°。AB ∥ DC なので、∠ABC ＋ ∠BCD ＝ 140° ＋ 40° ＝ 180°（同側内角の和）になり、確かに成り立ちます。
答え
∠x ＝ 60°、∠y ＝ 80°
△ABD が正三角形になることが決め手です。
ひらめきで解く方法
AD ＝ BD と ∠BAD ＝ 60° の組み合わせを見たら、「正三角形」を思い出します。
平行線があるときは、錯角（Z の形）や同側内角（コの字の形）を探すと、角度がどんどん移せます。
間違えやすいところ
- ∠x は ∠BDC、∠y は ∠DBC です。どの角を聞かれているかを、図で確認します
- 二等辺三角形の底角は、等しい辺の「反対側」にある角です（AD ＝ BD なら ∠A と ∠B）
- 錯角が等しくなるのは、平行線のときだけです
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