今日の1問は、まず x を求めたくなる問題です。
でも、ある公式を使うと、x を求めなくても一気に答えまでたどり着けます♪
今日の問題
x は実数とする。x ＋ 1/x ＝ 3 のとき、x3 ＋ 1/x3 の値を求めよ。
まずヒント
x の値を計算しようとすると、平方根が出てきて大変です。
x ＋ 1/x を3乗した (x ＋ 1/x)3 を展開してみましょう。
解き方
ステップ1 3乗を展開する
(x ＋ 1/x)3 ＝ x3 ＋ 3x2 × (1/x) ＋ 3x × (1/x2) ＋ 1/x3
＝ x3 ＋ 3x ＋ 3/x ＋ 1/x3
ステップ2 まとめる
3x ＋ 3/x ＝ 3(x ＋ 1/x) なので、(x ＋ 1/x)3 ＝ x3 ＋ 1/x3 ＋ 3(x ＋ 1/x) です。
ステップ3 数を入れる
x ＋ 1/x ＝ 3 なので、33 ＝ x3 ＋ 1/x3 ＋ 3 × 3。
27 ＝ x3 ＋ 1/x3 ＋ 9 です。
ステップ4 答えを求める
x3 ＋ 1/x3 ＝ 27 − 9 ＝ 18
ステップ5 別の方法で確かめる
x ＋ 1/x ＝ 3 の両辺を2乗すると、x2 ＋ 2 ＋ 1/x2 ＝ 9 なので x2 ＋ 1/x2 ＝ 7。
(x ＋ 1/x)(x2 ＋ 1/x2) ＝ x3 ＋ 1/x3 ＋ x ＋ 1/x なので、3 × 7 ＝ x3 ＋ 1/x3 ＋ 3 より、x3 ＋ 1/x3 ＝ 18。同じ答えになりました。
答え
18
x の値を求めなくても、3乗の公式だけで答えが出ます。
ひらめきで解く方法
x ＋ 1/x の形が出てきたら、2乗や3乗を作ると x2 ＋ 1/x2 や x3 ＋ 1/x3 が求められます。
x の値は (3 ± √5)/2 ですが、計算すると大変です。「求めたいものを、与えられた形で作る」のがコツです。
間違えやすいところ
- (x ＋ 1/x)3 の展開で、3(x ＋ 1/x) の項を忘れない（27 ではなく 27 − 9）
- 33 ＝ 27 です（9 ではありません）
- x の値を実際に求めようとしない
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