今日の1問は、一見すると計算が大変そうな式の値の問題です。
でも、ある公式に気づくと10秒で終わる？♪
今日の問題
正の整数 a、b が a ＋ b ＝ 100 を満たしている。このとき、a3 ＋ b3 ＋ 3ab(a ＋ b) の値を求めよ。
まずヒント
a と b の値は1つに決まりません。それでも答えは決まります。
(a ＋ b)3 を展開すると、どんな式になるでしょうか？
解き方
ステップ1 (a＋b)3 を展開する
(a ＋ b)3 ＝ a3 ＋ 3a2b ＋ 3ab2 ＋ b3
ステップ2 問題の式と見比べる
3a2b ＋ 3ab2 ＝ 3ab(a ＋ b) なので、(a ＋ b)3 ＝ a3 ＋ b3 ＋ 3ab(a ＋ b) と書けます。
つまり、問題の式は (a ＋ b)3 そのものです。
ステップ3 a＋b＝100 を入れる
(a ＋ b)3 ＝ 1003 ＝ 100 × 100 × 100
ステップ4 具体的な値で確かめる
a ＝ 1、b ＝ 99 とすると、1 ＋ 970299 ＋ 3 × 1 × 99 × 100 ＝ 1 ＋ 970299 ＋ 29700 ＝ 1000000。確かに同じ値になります。
答え
1000000（100万）
1003 ＝ 1000000 です。
ひらめきで解く方法
式のかたちを見て「どこかで見た公式に似ている」と気づくのがコツです。a3 ＋ b3 ＋ 3ab(a ＋ b) は、(a ＋ b)3 の展開をそのまま並べたものです。
a や b を求めようとせず、まとまりで見ると一気に簡単になります。
間違えやすいところ
- a、b を1つずつ求めようとしない（組はたくさんあります）
- (a ＋ b)3 を a3 ＋ b3 と書かない（3ab(a ＋ b) の項が必要です）
- 1003 のゼロの数は6個です
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