【中3数学】x^2－xy－y^2＝11、1＜y＜x＜100 を満たす整数 x, y をすべて求めよ｜中3で解けたら天才レベル？

今日の1問は、中3で解けたら天才レベルの超難問？
「あること」に気づけないと、永遠に終わりません♪

今日の問題

x² − xy − y² ＝ 11、1 ＜ y ＜ x ＜ 100 を満たす整数 x、y をすべて答えよ。

まずヒント

y を数として固定して、x の2次方程式と見てみましょう。

解の公式を使うと、ルートの中身が「平方数」にならなければいけません。

解き方

ステップ1　x の2次方程式として解く

x² − yx − (y² ＋ 11) ＝ 0 と見ます。解の公式より、

x ＝ (y ± √(y² ＋ 4(y² ＋ 11)))/2 ＝ (y ± √(5y² ＋ 44))/2 です。

ステップ2　符号を決める

x ＞ y ＞ 1 なので、√(5y² ＋ 44) は y より大きく、マイナスを選ぶと x が負になってしまい、条件に合いません。

したがって x ＝ (y ＋ √(5y² ＋ 44))/2 です。

ステップ3　5y² ＋ 44 が平方数になる y を探す

x が整数になるには、5y² ＋ 44 ＝ z²（z は正の整数）と書ける必要があります。y ＝ 2、3、…、98 を調べると、条件に合うのは次の7つです。

y ＝ 2：5 × 4 ＋ 44 ＝ 64 ＝ 8²、x ＝ (2 ＋ 8)/2 ＝ 5

y ＝ 5：125 ＋ 44 ＝ 169 ＝ 13²、x ＝ (5 ＋ 13)/2 ＝ 9

y ＝ 7：245 ＋ 44 ＝ 289 ＝ 17²、x ＝ (7 ＋ 17)/2 ＝ 12

y ＝ 14：980 ＋ 44 ＝ 1024 ＝ 32²、x ＝ (14 ＋ 32)/2 ＝ 23

y ＝ 19：1805 ＋ 44 ＝ 1849 ＝ 43²、x ＝ (19 ＋ 43)/2 ＝ 31

y ＝ 37：6845 ＋ 44 ＝ 6889 ＝ 83²、x ＝ (37 ＋ 83)/2 ＝ 60

y ＝ 50：12500 ＋ 44 ＝ 12544 ＝ 112²、x ＝ (50 ＋ 112)/2 ＝ 81

ステップ4　条件を確かめる

どの組も 1 ＜ y ＜ x ＜ 100 を満たしています。たとえば (x, y) ＝ (5, 2) だと、25 − 10 − 4 ＝ 11 です。

答え

7組

(x, y) ＝ (5, 2)、(9, 5)、(12, 7)、(23, 14)、(31, 19)、(60, 37)、(81, 50)

ひらめきで解く方法

この式は、y を決めると x の2次方程式になります。解の公式の「ルートの中身が平方数になる」条件を探すのが、中学数学の範囲での基本の方針です。

条件の x ＜ 100 は、解を有限個にしぼるためのものです。y をさらに大きくすると、x は 100 を超えてしまいます。

間違えやすいところ

• 解の公式では、± のうちマイナスを選ぶと条件 x ＞ y に合いません
• 5y² ＋ 44 が平方数でも、y ＋ z が偶数でなければ x は整数になりません（今回の7つはすべて偶数）
• x ＜ 100 の条件で、次の組（x が 100 を超える組）は含めません

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