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今日の1問は、中2数学。「式はこれだけ」なのに、全部見つけるのは意外と大変です♪
今日の問題
次の式を満たす整数 x, y をすべて求めよ。x2 − y2 ＝ 45
まずヒント
左辺を因数分解してみましょう。
かけて 45 になる2つの整数の組を、負の数もふくめて書き出します。
解き方
ステップ1 因数分解する
x2 − y2 ＝ (x − y)(x ＋ y) ＝ 45 です。
ステップ2 p, q とおく
p ＝ x − y、q ＝ x ＋ y とおくと、pq ＝ 45 で、x ＝ (p ＋ q) ÷ 2、y ＝ (q − p) ÷ 2 です。
ステップ3 正の組を調べる
(p, q) ＝ (1, 45) のとき (x, y) ＝ (23, 22)。
(3, 15) のとき (9, 6)。
(5, 9) のとき (7, 2)。
(9, 5) のとき (7, −2)。
(15, 3) のとき (9, −6)。
(45, 1) のとき (23, −22)。
ステップ4 負の組を調べる
p, q がどちらも負の場合も、積は 45 になります。(−1, −45) のとき (−23, −22)、(−3, −15) のとき (−9, −6)、(−5, −9) のとき (−7, −2)、(−9, −5) のとき (−7, 2)、(−15, −3) のとき (−9, 6)、(−45, −1) のとき (−23, 22) です。
ステップ5 まとめる
全部で 12 組あり、(x, y) ＝ (±7, ±2)、(±9, ±6)、(±23, ±22) です。（符号はそれぞれ自由に選べます。）
答え
12組
(x, y) ＝ (±7, ±2)、(±9, ±6)、(±23, ±22)（複号は自由）
ひらめきで解く方法
x, y の符号を変えても x2 − y2 は変わりません。正の解 (7, 2)、(9, 6)、(23, 22) の3組を見つければ、符号を変えるだけで12組すべてが出ます。
x と y の偶奇は、p と q がどちらも奇数ならきれいにそろいます。45 は奇数なので、すべての組がそのまま使えます。
間違えやすいところ
- 「整数解」なので、負の数も忘れない
- p, q の組を、小さい順の組だけにしない（(5, 9) と (9, 5) は別の解になる）
- x ＝ (p ＋ q) ÷ 2、y ＝ (q − p) ÷ 2 の計算で、符号を間違えない
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