【Instagram15万回再生】【高1数学】実数 x, y が x^2＋y^2＋xy＝7 を満たすとき x^2y^2 の最大値は？見た目にだまされる最大値問題

この問題は、Instagramのリールで15万回以上再生された人気問題です。
今日の1問は、高1数学の最大値問題。難しい計算は必要なく、xy がマイナスになる場合まで考えられるかが勝負です♪

タップして再生

Instagramのリールを再生

今日の問題

実数 x, y が x² ＋ y² ＋ xy ＝ 7 を満たしている。このとき、x²y² の最大値を求めよ。

まずヒント

xy ＝ t とおくと、x²y² ＝ t² です。

t がどんな範囲の値をとれるかが分かれば、t² の最大値が分かります。

解き方

ステップ1　xy ＝ t とおく

x²y² ＝ t² です。条件から、x² ＋ y² ＝ 7 − t です。

ステップ2　x² ＋ y² の大きさを調べる

x, y は実数なので、x² ＋ y² ≧ 2|xy| ＝ 2|t| が成り立ちます。よって 7 − t ≧ 2|t| です。

ステップ3　t の範囲を求める

t ≧ 0 のとき、7 − t ≧ 2t より t ≦ 7/3。
t ＜ 0 のとき、7 − t ≧ −2t より t ≧ −7。
よって −7 ≦ t ≦ 7/3 です。

ステップ4　t² の最大値を調べる

t² は、t ＝ −7 のとき 49、t ＝ 7/3 のとき 49/9 なので、最大は t ＝ −7 のときの 49 です。

ステップ5　実際にその値をとれるか確かめる

y ＝ −x とすると、x² ＋ x² − x² ＝ x² ＝ 7 より x ＝ √7、y ＝ −√7 で、xy ＝ −7 になります。

答え

x ＝ √7、y ＝ −√7（または x ＝ −√7、y ＝ √7）のときです。

ひらめきで解く方法

x²y² は、xy の2乗です。2乗の最大値は、xy の「絶対値」がいちばん大きいときなので、プラス側ではなくマイナス側の端 xy ＝ −7 を調べるのがコツです。

「x² ＋ y² ≧ 2|xy|」は、相加平均・相乗平均の関係のひとつで、実数なら必ず成り立ちます。

間違えやすいところ

xy が正の場合だけを考えて、49/9 と答えない
7 − t ≧ 2|t| は、t の正負で場合分けして解く
最大値をとる x, y が実際に存在するかも確かめる

計算や式でつまずいたら

今日の問題でつまずく原因は、もっと前の単元にあることもあります。

「数学つまずき診断」なら、小学校の単元までさかのぼって、つまずきの出発点を探せます。
無料体験版はダウンロードで、登録不要です。

👉 苦手を克服する｜数学つまずき診断を見る

👉 過去の「今日の1問」をぜんぶ見る

毎日1問、出しています

動画は毎日更新中です。

明日の1問もお楽しみに♪

自作の数学問題、投稿してみませんか？

あなたが作った一問が、誰かの「解きたい！」に変わるかもしれません。
投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。

👉 問題を投稿する

👉 投稿された問題を解いてみる