今日の1問は、大人も苦戦する図形の超難問？
使うのは中学2年生までの知識だけ。カギは「ある1本の補助線」です♪
今日の問題
二等辺三角形 ABC は、∠ABC ＝ ∠ACB ＝ 80° を満たしている。辺 AB 上に点 F、辺 AC 上に点 E をとり、∠ABE ＝ 20°、∠ACF ＝ 30° とする。∠BEF の大きさを求めなさい。
まずヒント
まず、分かる角度を全部書き出してみましょう。
そのうえで、頂点 B から辺 AC に向けて1本の線 BD を引きます。∠DBC ＝ 20° となる点 D をとるのがポイントです。
解き方
ステップ1 BF ＝ BC を見つける
∠BCF ＝ 80° − 30° ＝ 50°、∠FBC ＝ 80° です。
△BFC の内角の和より ∠BFC ＝ 180° − 80° − 50° ＝ 50°。
∠BFC ＝ ∠BCF なので、BF ＝ BC です。
ステップ2 ∠EBC と ∠BEC を求める
∠EBC ＝ 80° − 20° ＝ 60°。
△EBC で ∠BEC ＝ 180° − 60° − 80° ＝ 40° です。
ステップ3 補助線 BD を引く
AC 上に、∠DBC ＝ 20° となる点 D をとります（D は C と E のあいだにあります）。
△DBC で ∠BDC ＝ 180° − 20° − 80° ＝ 80° ＝ ∠BCD なので、BD ＝ BC です。
ここまでで BF ＝ BC ＝ BD になりました。
ステップ4 正三角形を見つける
∠FBD ＝ ∠FBC − ∠DBC ＝ 80° − 20° ＝ 60°。
BF ＝ BD で頂角が 60° なので、△BFD は正三角形です。よって DF ＝ DB、∠BDF ＝ 60° です。
ステップ5 DE ＝ DF を示す
∠DBE ＝ 60° − 20° ＝ 40°、∠BED ＝ ∠BEC ＝ 40° なので、△DBE は二等辺三角形で DB ＝ DE です。
DF ＝ DB ＝ DE なので、△DFE も二等辺三角形です。
ステップ6 ∠BEF を求める
∠BDE ＝ 180° − 80° ＝ 100° なので、∠FDE ＝ 100° − 60° ＝ 40°。
△DFE は DF ＝ DE の二等辺三角形なので、∠DEF ＝ (180° − 40°) ÷ 2 ＝ 70°。
∠BEF ＝ ∠DEF − ∠DEB ＝ 70° − 40° ＝ 30° です。
答え
30°
補助線 BD を引くと、正三角形と二等辺三角形がつながって解けます。
ひらめきで解く方法
この問題は「ラングレーの問題」として知られる有名な図形問題で、角度だけを追いかけてもなかなか解けません。
辺の長さが等しい（BF ＝ BC ＝ BD）ことを見つけて、正三角形を作るのが発想のポイントです。
間違えやすいところ
- ∠EBC は 20° ではなく、80° − 20° ＝ 60° です
- ∠BCF は 30° ではなく、80° − 30° ＝ 50° です
- 「どこが同じ長さか」をメモしながら進めると、BF ＝ BC ＝ BD に気づきやすくなります
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