【高1数学】サイコロ2個、三角形になる確率は？

今日の1問は、高1数学。サイコロを2個投げて、出た目と決まった長さの棒で三角形がつくれる確率を考えます。Nという文字が入るので、式の形で答えるのがポイントです♪

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今日の問題

1からNまでの整数が1つずつ書かれたN面体のサイコロを2個同時に投げます。1つ目の目を a、2つ目の目を b とします。長さ a cm、b cm、N cm の3本の棒を3辺として三角形をつくれる確率を、Nを使った式で表せ。ただし、Nは2以上の整数とする。

N面体のサイコロ2個の目 a，b と長さ N の棒で三角形ができる確率を求める問題の図

まずヒント

3本の棒で三角形がつくれる条件は、「いちばん長い辺が、他の2辺の和より短い」ことです。ここで a，b はどちらも N 以下なので、N がいちばん長い辺（または同じ長さ）になります。確かめるのは1つの不等式だけで済みます。

解き方

ステップ1　三角形になる条件をしぼる

三角形の成立条件は、3つの不等式 a ＋ b ＞ N、a ＋ N ＞ b、b ＋ N ＞ a がすべて成り立つことです。a ≦ N、b ≦ N、a ≧ 1、b ≧ 1 なので、a ＋ N ＞ b と b ＋ N ＞ a は、どんな目が出ても必ず成り立ちます。残る条件は a ＋ b ＞ N、つまり a ＋ b ≧ N ＋ 1 だけです。

ステップ2　全部の場合の数を数える

1つ目の目も2つ目の目もN通りずつなので、目の出方は全部で N² 通りです。a と b は別々のサイコロなので、(1, 2) と (2, 1) は区別して数えます。

ステップ3　条件を満たす場合を数える

a を決めたとき、a ＋ b ≧ N ＋ 1 を満たす b は、b ≧ N ＋ 1 － a から N までの a 通りです。a ＝ 1 なら 1通り、a ＝ 2 なら 2通り、…、a ＝ N なら N通り。合計は 1 ＋ 2 ＋ … ＋ N ＝ N(N ＋ 1)/2 通りです。

ステップ4　確率にする

確率は、N(N ＋ 1)/2 ÷ N² ＝ (N ＋ 1)/(2N) です。

答え

(N ＋ 1)/(2N)

Nが2のときは、全部で4通りのうち、(1, 2)、(2, 1)、(2, 2) の3通りで三角形ができるので 3/4 です。式に N ＝ 2 を入れた (2 ＋ 1)/(2×2) ＝ 3/4 と一致します。

ひらめきで解く方法

目の出方を、横軸が a、縦軸が b の N×N のマス目で考えます。三角形ができないのは a ＋ b ≦ N の階段状の部分で、マスの数は (N－1) ＋ (N－2) ＋ … ＋ 1 ＝ N(N－1)/2 個です。全体 N² 個から引くと、N² － N(N－1)/2 ＝ N(N＋1)/2 個。足し算を1つひとつ数えなくても、図の面積の感覚で出せます。

もうひとつ、a ＋ b ＝ N ＋ 1 の斜めの列（N個）をはさんで、両側の三角形はちょうど同じ数になります。N² － N を半分にして、もう一方の側と斜めの列を足せば、同じ N(N＋1)/2 個になります。

間違えやすいところ

a ＋ b ＝ N のときは、3辺がぴったり一直線になって三角形がつぶれます。a ＋ b ＞ N と、等号をつけない不等式で考えるのが大切です。
(a, b) の順番は区別します。2つのサイコロを同時に投げても、目の出方は N² 通りです。
a ＋ N ＞ b と b ＋ N ＞ a の確認を忘れても答えは変わりませんが、「なぜ確認しなくてよいか」まで説明できると、記述式でも安心です。

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