今日の1問は、中3数学。曲線に囲まれた不思議な形の面積を、正三角形とおうぎ形で求めます♪
今日の問題
1辺が6cmの正方形ABCDで、4つの頂点A，B，C，Dを中心とする半径6cmの四分円をかきます。
4つすべてが重なる部分の面積を求めよ。
まずヒント
隣り合う2つの頂点（AとB）を中心とする円の交点をPとすると、AP＝BP＝AB＝6cmです。この図の中に、正三角形が隠れています。
解き方
ステップ1 正三角形を見つける
AとBを中心とする円の交点をP₁とすると、△ABP₁は1辺6cmの正三角形です。同じように、他の隣り合う頂点の組からも、4つの交点P₁，P₂，P₃，P₄ができます。
ステップ2 4つの交点を結んだ正方形の面積
正三角形の高さは三平方の定理から 3√3 cm。ABからP₁までの高さは 3√3 cm、反対側のDCからP₃までも 3√3 cm なので、P₁とP₃の距離は 3√3 −（6 − 3√3）＝ 6√3 − 6 cm です。この線分が正方形P₁P₂P₃P₄の対角線なので、面積は（6√3 − 6）² ÷ 2 ＝ 72 − 36√3 cm² です。
ステップ3 まわりの4つの弓形の面積
∠BAP₁＝60°、∠DAP₄＝60° なので、∠P₁AP₄ ＝ 60° ＋ 60° − 90° ＝ 30° です。弓形は「おうぎ形 − 三角形」なので、中心角30°のおうぎ形 π×6²×30/360 ＝ 3π cm² から、三角形AP₁P₄ ＝ ½×6×6×sin30° ＝ 9 cm² を引いて、3π − 9 cm² です。
ステップ4 全部たす
（72 − 36√3）＋ 4×（3π − 9）を計算します。
答え
36 ＋ 12π − 36√3 cm²（約11.35 cm²）
正三角形・おうぎ形・三平方の定理がつながると、不思議な形の面積も順番に求められます。
ひらめきで解く方法
1辺 a の正方形で同じ図をかくと、重なる部分の面積は a²（1 ＋ π/3 − √3）になります。a＝6 を入れると 36（1 ＋ π/3 − √3）で、同じ答えです。
間違えやすいところ
- 弓形の中心角を60°としてしまう（正しくは30°です）
- 4つの交点を結んだ正方形の面積だけで終わってしまう（まわりの4つの弓形も足します）
- 正三角形の高さ 3√3 を使わずに、対角線の長さを求めようとする
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