【中2数学】整数 a, b が a^2＋b^2＝325 を満たすとき ab の値をすべて求めよ｜3分で全6個出せたら上位1％級？

今日の1問は、2乗の和が決まっている整数の問題です。
1組見つけて終わりではなく、正の整数だけでなく整数なのがポイントです♪

今日の問題

整数 a、b が a² ＋ b² ＝ 325 を満たすとき、ab の値として考えられるものをすべて求めよ。

まずヒント

a² と b² はどちらも 0 以上の平方数です。足して 325 になる平方数の組を探します。

まず、a と b が両方とも 0 以上のときを考えて、あとで符号を付け替えます。

解き方

ステップ1　a を小さい順に試す

a ≦ b として、a ＝ 0、1、2、…、12 のときに 325 − a² が平方数になるか調べます（18² ＝ 324 なので、b は 18 まで）。

a ＝ 0：325（×）、a ＝ 1：324 ＝ 18²（○）、a ＝ 2：321（×）、a ＝ 3：316（×）、a ＝ 4：309（×）、a ＝ 5：300（×）、a ＝ 6：289 ＝ 17²（○）、a ＝ 7：276（×）、a ＝ 8：261（×）、a ＝ 9：244（×）、a ＝ 10：225 ＝ 15²（○）、a ＝ 11：204（×）、a ＝ 12：181（×）

ステップ2　見つかった組

1² ＋ 18² ＝ 325、6² ＋ 17² ＝ 325、10² ＋ 15² ＝ 325 の3組です。

ステップ3　積 ab を求める

1 × 18 ＝ 18、6 × 17 ＝ 102、10 × 15 ＝ 150

ステップ4　符号を考える

a、b は整数なので、どちらも負にしても a² ＋ b² ＝ 325 は成り立ちます。（−1, −18） のときの積は 18 のまま。

片方だけ負にすると積が負になるので、−18、−102、−150 も考えられます。

答え

ab ＝ 18、102、150、−18、−102、−150（全部で6個）

正の整数のときの 3個に、符号を変えた 3個を加えて6個です。

ひらめきで解く方法

325 ＝ 5² × 13 と分解できます。このような数は、2乗の和の形に複数の書き方があります。

整数と書いてあったら、負の数も含めて数えるのが大切です。「全6個」のヒントも、符号を考えると納得できます。

間違えやすいところ

• a ＝ 0 や b ＝ 0 のとき、325 は平方数ではないので不適です
• 正の整数だけで答えると、3個しか出てきません
• 積 ab は、a、b の符号が同じなら正、ちがうなら負になります

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