【中3数学】1を11個ならべて2乗すると？

今日の1問は、中3数学。11月にちなんだ、1がずらりと並ぶ数の2乗です♪

今日の問題

11月にちなんで、1 を 11 個ならべた数 11111111111 を 2 乗します。できた数の各位の数字をすべて足すといくつか求めよ。

まずヒント

11111111111² を、いきなり計算するのは大変です。まず、1 の個数を少なくして、筆算を 1 桁ずつずらして並べると、きれいな並びが見えてきます。

解き方

ステップ1　小さい場合でためす

11² ＝ 121、111² ＝ 12321、1111² ＝ 1234321 となり、数字が 1, 2, 3, … と増えて、また減る形になります。

ステップ2　筆算の列を考える

1 が 11 個のとき、筆算を 1 桁ずつずらして足すと、各位の列の合計は、右から 1, 2, 3, …, 10, 11, 10, …, 2, 1 の 21 列になります。

ステップ3　繰り上がりを計算する

10 以上になる列（10, 11, 10, 9 のところ）で繰り上がりが起きます。きちんと繰り上げると、11111111111² ＝ 123456790120987654321 です。

ステップ4　各位の数字を足す

1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＋ 7 ＋ 9 ＋ 0 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 0 ＋ 9 ＋ 8 ＋ 7 ＋ 6 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 85 です。

答え

85

各位の数字の和は 85 です。

ひらめきで解く方法

繰り上がりが無ければ、各位の列の合計は 1 ＋ 2 ＋ … ＋ 11 ＋ … ＋ 2 ＋ 1 ＝ 121（＝ 11²）です。繰り上がりが 1 回起きるたびに、10 が「0 と、上の位の 1」に変わるので、各位の数字の和は 9 ずつ減ります。この問題の繰り上がりは全部で 4 回なので、121 － 9 × 4 ＝ 85 と求められます。

間違えやすいところ

• 「1 が k 個なら各位の和は k²」という規則は、1 が 9 個までです。10 個以上では繰り上がりが起きるので、そのままは使えません。（10 個なら 82、11 個なら 85 です）
• 筆算を 1 桁ずつずらすときに、足す列をずらし間違えないようにしましょう。
• 繰り上がりを足し忘れると、真ん中の数字が変わってしまいます。

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