【高1数学】実数 x, y について x^2＋y^2＋2x－6y＋10 の最小値は？一瞬で終わる平方完成？

今日の1問は、「一瞬で終わる？」高1数学です。
複雑そうな式でも、平方完成で見通しがよくなります♪

タップして再生

Instagramのリールを再生

今日の問題

実数 x, y について、x² ＋ y² ＋ 2x − 6y ＋ 10 の最小値を求めよ。

x だけの部分と、y だけの部分に分けて考えます。

それぞれを「(　)²」の形に直してみましょう。定数の 10 の使い道もポイントです。

ステップ1　x と y に分ける

x² ＋ 2x と、y² − 6y に分けます。

ステップ2　それぞれ平方完成する

x² ＋ 2x ＝ (x ＋ 1)² − 1
y² − 6y ＝ (y − 3)² − 9

ステップ3　まとめる

与式＝ (x ＋ 1)² − 1 ＋ (y − 3)² − 9 ＋ 10 ＝ (x ＋ 1)² ＋ (y − 3)²

ステップ4　最小値を考える

2乗は 0 以上なので、(x ＋ 1)² ＋ (y − 3)² は 0 以上です。x ＝ −1、y ＝ 3 のとき、ちょうど 0 になります。

x ＝ −1、y ＝ 3 のとき、最小値 0 をとります。

定数の 10 は、1 ＋ 9 に分けられます。x の分の 1 と、y の分の 9 がぴったり使われるので、きれいに2乗の和になります。

「2乗の和」の形にできたら、最小値は 0 だとすぐ分かります。

今日の問題でつまずく原因は、もっと前の単元にあることもあります。

「数学つまずき診断」なら、小学校の単元までさかのぼって、つまずきの出発点を探せます。
無料体験版はダウンロードで、登録不要です。

動画は毎日更新中です。

明日の1問もお楽しみに♪

あなたが作った一問が、誰かの「解きたい！」に変わるかもしれません。
投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。