今日の1問は、高1数学の図形と計量。角の二等分線の長さを、面積の考え方で求めます♪
今日の問題
△ABCで、AB＝6、AC＝4、∠A＝60°とします。∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき、ADの長さを求めてください。
まずヒント
三角形の面積は「2辺とその間の角」から、1/2 × 辺 × 辺 × sin（間の角）で表せます。△ABCを、ADで2つの三角形に分けて、面積の式を作ってみましょう。
解き方
ステップ1 △ABC全体の面積を出す
AB＝6、AC＝4、∠A＝60°なので、面積は 1/2 × 6 × 4 × sin60° ＝ 12 × (√3/2) ＝ 6√3 です。
ステップ2 2つの三角形の面積を、ADを使って表す
AD＝d とおきます。ADは∠Aの二等分線なので、∠BAD＝∠CAD＝30°です。△ABD ＝ 1/2 × 6 × d × sin30° ＝ 3d/2、△ACD ＝ 1/2 × 4 × d × sin30° ＝ d。合計は 3d/2 ＋ d ＝ 5d/2 です。
ステップ3 面積が等しいことから方程式を作る
△ABC ＝ △ABD ＋ △ACD なので、6√3 ＝ 5d/2。これを解くと d ＝ 12√3/5 になります。
答え
AD ＝ 12√3/5（約4.16）
△ABCの面積を「全体」と「2つに分けた合計」の2通りで表して、イコールで結ぶのがポイントでした。
ひらめきで解く方法
角の二等分線の長さには、公式 AD ＝ 2bc cos(A/2) ÷ (b＋c) があります（b，c は∠Aをはさむ2辺）。b＝6、c＝4、A＝60°を入れると、AD ＝ 2×6×4×cos30° ÷ 10 ＝ 48 × (√3/2) ÷ 10 ＝ 12√3/5。覚えていれば1行で出ますが、ふだんは面積の式から導けるようにしておくと安心です。
間違えやすいところ
- ∠BADを60°のままにしてしまう。二等分線なので、ADをはさむ角は30°ずつです。
- 1/2 をかけ忘れる。三角形の面積の公式には、必ず 1/2 がつきます。
- BD：DC ＝ 6：4 という比と、ADの長さを混同する。この問題では比ではなく、面積の式でADを求めます。
- 最後に 12√3/5 を、分母に√が残った形や小数だけで終わらせてしまう。
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