【中3数学】x^2＋ax＋b＝0 の解が a と b。a，b の値は？

今日の1問は、中3数学。解が「文字そのもの」になっている、ちょっと不思議な2次方程式です。「異なる」という一言がカギになります♪

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今日の問題

2次方程式 x² ＋ ax ＋ b ＝ 0 の、異なる2つの解が a と b であるとき、a、b の値を求めなさい。

2次方程式 x^2＋ax＋b＝0 の、異なる2つの解が a と b のとき、a、b の値を求める問題

まずヒント

解が a と b なら、x に a や b を代入すると式が成り立ちます。代入して、a と b の関係式をつくってみましょう。そして最後に「異なる」という条件を忘れずに確認します。

解き方

ステップ1　x ＝ a を代入する

x ＝ a が解なので、a² ＋ a×a ＋ b ＝ 0。つまり 2a² ＋ b ＝ 0 なので、b ＝ −2a² …①

ステップ2　x ＝ b を代入して因数分解する

x ＝ b が解なので、b² ＋ ab ＋ b ＝ 0。b でくくると b(b ＋ a ＋ 1) ＝ 0。よって b ＝ 0 または b ＝ −a − 1 …②

ステップ3　b ＝ 0 の場合

①より 2a² ＝ 0 なので a ＝ 0。すると a ＝ b ＝ 0 となり、方程式は x² ＝ 0 で解は0だけです。「異なる2つの解」にならないので不適です。

ステップ4　b ＝ −a − 1 の場合

①に代入して −2a² ＝ −a − 1。整理すると 2a² − a − 1 ＝ 0、因数分解して (2a ＋ 1)(a − 1) ＝ 0 なので、a ＝ −1/2 または a ＝ 1。

a ＝ −1/2 のとき b ＝ −a − 1 ＝ −1/2 となり a ＝ b。「異なる」に反するので不適です。a ＝ 1 のとき b ＝ −2 となります。

ステップ5　確かめる

a ＝ 1、b ＝ −2 のとき、方程式は x² ＋ x − 2 ＝ 0。因数分解すると (x ＋ 2)(x − 1) ＝ 0 で、解は x ＝ −2、1。たしかに b と a の2つで、異なっています。

答え

a ＝ 1、b ＝ −2

場合分けと「異なる」の確認を丁寧にやると、答えは1組だけに決まります。

ひらめきで解く方法

解が a と b の2次方程式は、因数分解の形で (x − a)(x − b) ＝ 0 と書けます。展開すると x² − (a ＋ b)x ＋ ab ＝ 0。これが x² ＋ ax ＋ b ＝ 0 と同じ式なので、x の係数と定数項を比べて −(a ＋ b) ＝ a、ab ＝ b。

ab ＝ b から b(a − 1) ＝ 0 なので b ＝ 0 または a ＝ 1。b ＝ 0 だと a ＝ 0 で a ＝ b になってしまうので、a ＝ 1。すると −(1 ＋ b) ＝ 1 から b ＝ −2 と、一気に答えが出ます。

間違えやすいところ

b(b ＋ a ＋ 1) ＝ 0 の両辺を b で割ってしまうと、b ＝ 0 の場合を見落とします。割らずに「積が0」で考えましょう。
a ＝ b ＝ 0 や a ＝ b ＝ −1/2 は、式は成り立ちますが「異なる2つの解」ではないので答えになりません。
求めた値を元の方程式に戻して、解が本当に a と b の2つになるか確かめる習慣をつけましょう。

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