今日の1問は、中2数学の一次関数。L字型の図形を、原点を通る直線でぴったり半分に分けます♪
今日の問題
座標平面上に、5点(0, 5)，(2, 5)，(2, 2)，(4, 2)，(4, 0)と原点Oを結んだL字型の図形があります。この図形を、原点Oを通る直線で、面積が半分になるように分けるとき、その直線の式を求めてください。
まずヒント
まず図形全体の面積を出して、「半分はいくつか」をはっきりさせます。そのうえで、直線がL字のどの辺と交わるかを見当づけるのがポイントです。
解き方
ステップ1 全体の面積と、半分の面積を出す
L字を縦長の長方形（横2×縦5＝10）と、右下の長方形（横2×縦2＝4）に分けると、全体は 10 ＋ 4 ＝ 14。半分は 7 です。
ステップ2 直線がどの辺と交わるか見当をつける
原点を通る直線 y＝ax（a＞0）の「下側」の面積を考えます。点(2, 2)を通る y＝x のとき、下側は 2 ＋ 4 ＝ 6 で、7に足りません。点(2, 5)を通る y＝5/2 x のとき、下側は 5 ＋ 4 ＝ 9 で、7をこえます。つまり直線は、x＝2 の辺（y が2から5の間）と交わります。
ステップ3 交点を(2, 2a)として方程式を作る
直線と辺 x＝2 の交点は (2, 2a)。直線の下側は、右下の長方形（面積4）と、底辺2・高さ2aの三角形（面積 1/2 × 2 × 2a ＝ 2a）の合計です。4 ＋ 2a ＝ 7 より、a ＝ 3/2。このとき交点は(2, 3)で、確かに2と5の間にあります。
答え
y ＝ 3/2 x
下側の面積が7（全体の半分）になる傾きを、場合分けして見つけました。
ひらめきで解く方法
右下の長方形（面積4）は、直線の下に丸ごと入ります。すると、のこりの三角形の面積は 7 − 4 ＝ 3。底辺が2なので高さは3、つまり直線は点(2, 3)を通ります。原点と(2, 3)を通る直線なので、傾き 3/2 とすぐに求まります。
間違えやすいところ
- 全体の面積を 2×5 ＋ 4×2 ＝ 18 と数えてしまう。重なる部分があるので、10 ＋ 4 ＝ 14 です。
- 直線がどの辺と交わるかを調べずに、いきなり式を立ててしまう。交わる辺で面積の式が変わります。
- 求めた a が、交点の範囲（y が2から5の間）に入っているかの確認を忘れる。
- 傾きだけ答えて、「y＝」の形の式にしていない。
計算や式でつまずいたら
今日の問題でつまずく原因は、もっと前の単元にあることもあります。
「数学つまずき診断」なら、小学校の単元までさかのぼって、つまずきの出発点を探せます。
無料体験版はダウンロードで、登録不要です。
毎日1問、出しています
動画は毎日更新中です。
明日の1問もお楽しみに♪
自作の数学問題、投稿してみませんか？
あなたが作った一問が、誰かの「解きたい！」に変わるかもしれません。
投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。
👉 問題を投稿する
コメント