今日の1問は、中3数学の図形です。正方形と弧のすき間にぴったり入る、2つの円。三平方の定理を使いこなせるかな？♪
今日の問題
1辺12cmの正方形ABCDで、点Aを中心とする弧BDをかきます。円Pは辺BC、CD、弧BDに接し、円Qは辺BC、弧BD、円Pに接しています。円Qの半径を求めなさい。
まずヒント
円どうしや弧が「外側から接する」ときは、中心を結んだ長さが半径の和になります。点Aを原点のように考えて、横の長さ・縦の長さ・斜めの長さを三平方の定理でつなぎましょう。先に円Pの半径を出すのがコツです。
解き方
ステップ1 円Pの半径 r を求める
円Pは辺BC、CDに接するので、中心Pは辺BCからも辺CDからも r だけ離れています。Aからの横の距離・縦の距離はどちらも 12 − r。AP は弧BDの半径12と r の和なので 12 ＋ r です。三平方の定理から 2(12 − r)2 ＝ (12 ＋ r)2。両辺の平方根をとると √2(12 − r) ＝ 12 ＋ r なので、r ＝ 12(√2 − 1)2 ＝ 36 − 24√2 です。
ステップ2 円Qの高さを半径 q で表す
円Qは辺BCに接するので、Aからの横の距離は 12 − q。AQ は 12 ＋ q。Qの高さ（ABからの距離）を h とすると、(12 − q)2 ＋ h2 ＝ (12 ＋ q)2 から h2 ＝ 48q、つまり h ＝ 4√3×√q です。
ステップ3 円Pと円Qの接する条件を式にする
PQ ＝ r ＋ q。PとQの横の差は r − q、縦の差は (12 − r) − h。三平方の定理から (r − q)2 ＋ (12 − r − h)2 ＝ (r ＋ q)2。整理すると (12 − r − h)2 ＝ 4rq です。
ステップ4 √q について解く
√q ＝ t とおきます。√r ＝ 2√3(√2 − 1) なので、右辺の平方根は 2t√r ＝ 4√3(√2 − 1)t。QはPより下にあるので 12 − r − h ＞ 0 で、12 − r ＝ 24(√2 − 1) ＝ 4√3 t ＋ 4√3(√2 − 1)t ＝ 4√6 t。よって t ＝ 24(√2 − 1) ÷ 4√6 ＝ √6(√2 − 1)。
ステップ5 q を求める
q ＝ t2 ＝ 6(√2 − 1)2 ＝ 6(3 − 2√2) ＝ 18 − 12√2 です。
答え
18 − 12√2 cm（約1.03cm）
円Pの半径 36 − 24√2 cm のちょうど半分になっています。数値計算でも確かめました。
ひらめきで解く方法
この問題は「外側から接する2つの円は、中心間の距離が半径の和」と「辺に接する円は、中心から辺までの距離が半径」の2つだけで機械的に解けます。点Aを基準に、横・縦・斜めの3つの長さを直角三角形でつなぐのが最大のひらめきです。
検算では、円Qの半径が円Pの半径の半分になっていること（q ＝ r ÷ 2）に気づくと、計算ミスのチェックになります。
間違えやすいところ
- 円Pも円Qも弧BDに「外側から」接しているので、AP ＝ 12 ＋ r、AQ ＝ 12 ＋ q（12 − r ではありません）。
- 12 − r − h の符号に注意。QはPより下にあるので、12 − r − h は正の値として扱います。
- √2 を含む計算は、(√2 − 1)2 ＝ 3 − 2√2 の展開と、最後の約分でミスが出やすいです。
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