今日の1問は、数学史に残る驚きの性質をもつ2次式の問題です。
「必ず素数になるのか」を見抜けるでしょうか♪
今日の問題
0以上の整数 n について、n2 ＋ n ＋ 41 は、n ＝ 0、1、…、39 のとき必ず素数になるかどうかを答えよ。
まずヒント
まず、n ＝ 0、1、2、3 …と、小さい数から実際に計算してみましょう。
どこまで確かめればよいかは、「素数かどうかを調べるには、√ までの素数で割ってみればよい」というルールで決まります。
解き方
ステップ1 n が小さいときを計算する
n ＝ 0：41、n ＝ 1：43、n ＝ 2：47、n ＝ 3：53、n ＝ 4：61、n ＝ 5：71。どれも素数です。
ステップ2 調べる範囲を決める
n ＝ 39 のとき 392 ＋ 39 ＋ 41 ＝ 1601 が最大です。402 ＝ 1600 なので、√1601 は 40 より少しだけ大きい値です。
つまり、37 以下の素数（2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37）で割り切れなければ、素数だと分かります。
ステップ3 割り切れるかを調べる
2 では割り切れません：n2 ＋ n ＝ n(n ＋ 1) は必ず偶数なので、n2 ＋ n ＋ 41 は奇数です。
3 でも割り切れません：n を 3 で割った余りが 0、1、2 のとき、式を 3 で割った余りは 2、1、2 になり、0 になりません。
5 でも割り切れません：n を 5 で割った余りが 0、1、2、3、4 のとき、余りは 1、3、2、3、1 で、0 になりません。
残りの素数（7〜37）でも、同じように余りを調べると 0 にならないことが確かめられます（私が全部を計算して確認しました）。
ステップ4 実際の値を書き出す
n ＝ 0〜39 の値は、41、43、47、53、61、71、83、97、113、131、151、173、197、223、251、281、313、347、383、421、461、503、547、593、641、691、743、797、853、911、971、1033、1097、1163、1231、1301、1373、1447、1523、1601 で、40個すべてが素数です。
答え
必ず素数になる（n ＝ 0〜39 のすべてで素数）
n ＝ 40 のときは 402 ＋ 40 ＋ 41 ＝ 1681 ＝ 412 となり、素数になりません。
ひらめきで解く方法
この式は、数学者オイラーが見つけたことで有名な「素数を生み出す式」です。
40個続けて素数になるのは不思議ですが、n ＝ 40 や n ＝ 41（41 × 43 ＝ 1763）では素数ではなくなります。「必ず素数」と言えるのは、n ＝ 0〜39 の範囲だけです。
間違えやすいところ
- 「n ＝ 0〜39 のとき」という範囲の条件が大切です。n ＝ 40 以降は素数とは限りません
- 素数の確認は、√ までの素数で割ってみれば十分です。全部の数で割る必要はありません
- 1 は素数ではありません（今回の値は 41 以上です）
計算や式でつまずいたら
今日の問題でつまずく原因は、もっと前の単元にあることもあります。
「数学つまずき診断」なら、小学校の単元までさかのぼって、つまずきの出発点を探せます。
無料体験版はダウンロードで、登録不要です。
毎日1問、出しています
動画は毎日更新中です。
明日の1問もお楽しみに♪
自作の数学問題、投稿してみませんか？
あなたが作った一問が、誰かの「解きたい！」に変わるかもしれません。
投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。
👉 問題を投稿する
コメント