今日の1問は、中学数学の知識と「ひらめき」だけで解ける整数問題です。
制限時間は5分。1分で解けたら上位1％？ ぜひ挑戦してみてください♪
今日の問題
正の整数 a、b、c が abc ＝ 2025 を満たす。このとき、(a − b)2 ＋ (b − c)2 ＋ (c − a)2 の最小値を求めよ。
まずヒント
この式は、a、b、c がバラバラなほど大きくなり、3つが近いほど小さくなります。
では、積が 2025 になる3つの正の整数のうち、いちばん近い組はどれでしょうか。
解き方
ステップ1 2025 を素因数分解する
2025 ＝ 34 × 52 ＝ 9 × 15 × 15 でもあります。約数は 1、3、5、9、15、25、27、45、75、81、135、225、405、675、2025 です。
ステップ2 3つの数を近づける
3つが等しければ、1つは 2025 の立方根（約 12.6）になります。整数でいちばん近い約数は 9 と 15 です。
約数の中から、積が 2025 になる3つの組を探します。
ステップ3 候補を計算する
(9, 15, 15)：(9 − 15)2 ＋ 0 ＋ (15 − 9)2 ＝ 36 ＋ 0 ＋ 36 ＝ 72
(9, 9, 25)：0 ＋ 256 ＋ 256 ＝ 512
(5, 15, 27)：100 ＋ 144 ＋ 484 ＝ 728
(3, 25, 27)：484 ＋ 4 ＋ 576 ＝ 1064
ほかの組はもっと大きくなります（すべての組を調べて確かめました）。
ステップ4 最小値を決める
いちばん小さいのは (9, 15, 15) のとき（並べ替えも同じ）で、値は 72 です。
答え
72
(a, b, c) ＝ (9, 15, 15) とその並べ替えのときです。
ひらめきで解く方法
この式は 2(a2 ＋ b2 ＋ c2 − ab − bc − ca) とも書けます。3つの数が近いほど小さくなるので、立方根に近い約数を選べば最小の組が見つかります。
「積が決まっているときに差を小さくしたい」ときは、まず立方根（今回は約 12.6）を目安にするのがコツです。
間違えやすいところ
- (9, 9, 25) のように、2つを近づけても残りが遠いと大きくなります
- 約数にない数（12 など）は使えません
- (a − b)2 ＋ (b − c)2 ＋ (c − a)2 は3つの項を全部足します
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