【中3数学】√(x＋15)＝5－x を満たす x の値は？最後まで油断できない方程式

今日の1問は、ルートが入った方程式です。
解を2つ見つけて安心していませんか？最後まで油断できません♪

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今日の問題

次の式で、x の値を求めよ。√(x ＋ 15) ＝ 5 − x

まずヒント

ルートを外すために、両辺を2乗します。

2乗して出た値は、必ず元の式に戻して確かめます。

解き方

ステップ1　両辺を2乗する

x ＋ 15 ＝ (5 − x)² ＝ x² − 10x ＋ 25

ステップ2　整理して解く

x² − 11x ＋ 10 ＝ 0 なので、(x − 1)(x − 10) ＝ 0 より x ＝ 1 または x ＝ 10 です。

ステップ3　元の式に代入して確かめる

x ＝ 1 のとき：左辺は √(1 ＋ 15) ＝ √16 ＝ 4、右辺は 5 − 1 ＝ 4。等しいので解です。

x ＝ 10 のとき：左辺は √(10 ＋ 15) ＝ √25 ＝ 5、右辺は 5 − 10 ＝ −5。5 ≠ −5 なので、解ではありません。

ステップ4　条件から確かめる

√ の値は 0 以上なので、右辺の 5 − x ≧ 0、つまり x ≦ 5 が必要です。x ＝ 10 は条件を満たしません。

答え

x ＝ 1

x ＝ 10 は、2乗したときに出てくる余分な解です。

ひらめきで解く方法

ルートを含む方程式は、「2乗する」→「解く」→「元の式で確かめる」の3つがセットです。

先に、右辺 5 − x が 0 以上になる条件 x ≦ 5 を書いておくと、あとで余分な解をすぐに見分けられます。

間違えやすいところ

2乗した後の方程式の解は、そのまま答えにしません
x ＝ 10 のとき、右辺は −5 で、√25 ＝ 5 とは等しくなりません
√16 ＝ 4、√25 ＝ 5 の計算を正確に行います

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