【中3数学】ab＝2026で a^2＋b^2＝1026173 となる整数の組は存在する？｜解き方を解説

今日の1問は、整数の問題です。
「存在するか」と聞かれたら、実際に作れるかを考えるのがコツ♪

今日の問題

整数 a, b が ab ＝ 2026 を満たしている。このとき a² ＋ b² ＝ 1026173 となる組は存在するか。

まずヒント

a² ＋ b² と ab が分かっているときは、(a＋b)² と (a−b)² を作ってみましょう。

どちらも「a² ＋ b²」に「2ab」を足すか引くかで求められます。

解き方

ステップ1　(a＋b)² を求める

(a＋b)² ＝ a² ＋ b² ＋ 2ab ＝ 1026173 ＋ 2 × 2026 ＝ 1030225

1015² ＝ 1030225 なので、a＋b ＝ ±1015 です。

ステップ2　(a−b)² を求める

(a−b)² ＝ a² ＋ b² − 2ab ＝ 1026173 − 4052 ＝ 1022121

1011² ＝ 1022121 なので、a−b ＝ ±1011 です。

ステップ3　a, b を求める

a＋b ＝ 1015、a−b ＝ 1011 のとき、足して2で割ると a ＝ 1013、引いて2で割ると b ＝ 2。

符号の組み合わせを変えると、(2, 1013)、(−1013, −2)、(−2, −1013) も出ます。

ステップ4　確かめる

1013 × 2 ＝ 2026。1013² ＝ 1026169、2² ＝ 4 なので、合計は 1026173。条件にぴったり合います。

答え

存在する

(a, b) ＝ (1013, 2)、(2, 1013)、(−1013, −2)、(−2, −1013) の4組です。

ひらめきで解く方法

2026 ＝ 2 × 1013 で、1013 は素数です。だから ab ＝ 2026 になる整数は、1 と 2026、2 と 1013（と、符号を逆にした組、入れ替えた組）しかありません。

1² ＋ 2026² ＝ 4104677 は 1026173 と違います。2² ＋ 1013² ＝ 4 ＋ 1026169 ＝ 1026173 なので、(2, 1013) が見つかります。

候補を全部書き出せば、計算が少ないのもこの問題の面白いところです。

間違えやすいところ

• (a＋b)² は 2ab を「足す」、(a−b)² は 2ab を「引く」。
• 平方根をとるときは、プラスとマイナスの両方を考える（a＋b ＝ ±1015）。
• a, b が整数になるには、a＋b と a−b の偶奇がそろう必要がある（今回はどちらも奇数でOK）。
• 組を数えるときは、入れ替えた組と、符号を逆にした組も忘れない。

計算や式でつまずいたら

今日の問題でつまずく原因は、もっと前の単元にあることもあります。

「数学つまずき診断」なら、小学校の単元までさかのぼって、つまずきの出発点を探せます。
無料体験版はダウンロードで、登録不要です。

👉 苦手を克服する｜数学つまずき診断を見る

👉 過去の「今日の1問」をぜんぶ見る

毎日1問、出しています

動画は毎日更新中です。

• YouTube
• Instagram（この問題のリール）

明日の1問もお楽しみに♪

自作の数学問題、投稿してみませんか？

あなたが作った一問が、誰かの「解きたい！」に変わるかもしれません。
投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。

👉 問題を投稿する

👉 投稿された問題を解いてみる