【中3数学】整数 a, b が a＋b＝100 のとき a^2＋b^2＝5002 となる組は存在する？99％が一度は間違える？

今日の1問は、「存在するか」を見抜く問題です。
暗算で答えると、意外とハマるかもしれません♪

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今日の問題

整数 a、b が a ＋ b ＝ 100 を満たすとき、a² ＋ b² ＝ 5002 となる組は存在するか。

まずヒント

a ＋ b ＝ 100 と a² ＋ b² ＝ 5002 から、ab の値が求められます。

(a ＋ b)² を展開してみましょう。

解き方

ステップ1　ab の値を求める

(a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b² なので、100² ＝ 5002 ＋ 2ab。

10000 ＝ 5002 ＋ 2ab より、2ab ＝ 4998、ab ＝ 2499 です。

ステップ2　a と b を求める

a ＋ b ＝ 100、ab ＝ 2499 なので、a と b は t² − 100t ＋ 2499 ＝ 0 の2つの解です。

2499 ＝ 49 × 51、49 ＋ 51 ＝ 100 なので、(t − 49)(t − 51) ＝ 0 と因数分解できます。

ステップ3　整数かどうかを確認する

t ＝ 49、51 はどちらも整数です。したがって (a, b) ＝ (49, 51)、(51, 49) が見つかります。

ステップ4　確かめる

49² ＝ 2401、51² ＝ 2601 で、2401 ＋ 2601 ＝ 5002。たしかに条件を満たしています。

答え

存在する

(a, b) ＝ (49, 51)、(51, 49) です。

ひらめきで解く方法

a ＝ 50 − t、b ＝ 50 ＋ t とおく方法もあります。a ＋ b ＝ 100 が自動的に成り立ち、a² ＋ b² ＝ 5000 ＋ 2t² になります。

5000 ＋ 2t² ＝ 5002 より t² ＝ 1、t ＝ ±1。a、b は 49、51 になります。

間違えやすいところ

a ＝ b ＝ 50 のとき、a² ＋ b² ＝ 5000 で、5002 にはなりません。「ほんの少しだけずらす」のがポイントです
(a ＋ b)² の展開で、中央の項は 2ab です
解が整数になるかを、必ず最後に確かめます

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