今日の1問は、見た目は超難問？のルートの式です。
でも、計算を始める前に最初の2つの条件に注目すると、一瞬で道が開ける？♪
今日の問題
a、b、c を正の実数とし、a ＋ b ＋ c ＝ 3、abc ＝ 1 を満たすとする。このとき、a/√(a2 ＋ 8bc) ＋ b/√(b2 ＋ 8ca) ＋ c/√(c2 ＋ 8ab) の値を求めよ。
まずヒント
まず、ルートの式は見ないで、条件の a ＋ b ＋ c ＝ 3 と abc ＝ 1 だけを見てください。
3つの正の数には、「相加平均 ≧ 相乗平均」という関係があります。
解き方
ステップ1 相加平均と相乗平均の関係を使う
正の実数 a、b、c について、(a ＋ b ＋ c)/3 ≧ ∛(abc) が成り立ちます。等号が成り立つのは a ＝ b ＝ c のときだけです。
ステップ2 条件を代入する
a ＋ b ＋ c ＝ 3 なので左辺は 3/3 ＝ 1。abc ＝ 1 なので右辺は ∛1 ＝ 1。
左辺と右辺が等しくなっているので、等号が成り立っています。
ステップ3 a、b、c の値を決める
等号が成り立つのは a ＝ b ＝ c のとき。a ＋ b ＋ c ＝ 3 より、a ＝ b ＝ c ＝ 1 です。
ステップ4 式に代入する
a ＝ b ＝ c ＝ 1 のとき、1/√(1 ＋ 8) ＝ 1/3。
3つの項がすべて 1/3 なので、合計は 1/3 ＋ 1/3 ＋ 1/3 ＝ 1 です。
答え
1
条件を満たす a、b、c は a ＝ b ＝ c ＝ 1 だけです。
ひらめきで解く方法
ルートの式は複雑でも、条件を満たす (a, b, c) が1組しかなければ、式の値はその組を代入するだけで決まります。
「条件が強すぎて、a、b、c が決まってしまう」ことに気づくのがポイントです。相加平均と相乗平均の等号の条件が、その合図でした。
間違えやすいところ
- ルートの式を直接変形しようとしない（かなり大変です）
- 相加平均 ≧ 相乗平均の等号は、a ＝ b ＝ c のときだけです
- √9 ＝ 3 なので、各項は 1/3 です（1/9 ではありません）
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