今日の1問は、高2数学（数学II・複素数）の「2026乗」問題です。
2026乗をまともに計算せず、「周期」に気づいて解きます♪
今日の問題
0 でない複素数 z が z ＋ 1/z ＝ 1 を満たすとき、z2026 ＋ 1/z2026 の値を求めよ。
まずヒント
z ＋ 1/z ＝ 1 の両辺に z をかけて、z の方程式にしてみます。
z を何乗かすると 1 や −1 になれば、あとは周期で考えられます。
解き方
ステップ1 方程式に直す
両辺に z をかけると、z2 ＋ 1 ＝ z、つまり z2 − z ＋ 1 ＝ 0 です。
ステップ2 3乗を求める
z2 − z ＋ 1 ＝ 0 の両辺に (z ＋ 1) をかけると、z3 ＋ 1 ＝ 0 です。よって z3 ＝ −1、さらに z6 ＝ 1 となります。
ステップ3 2026乗を小さくする
2026 ＝ 6 × 337 ＋ 4 なので、z2026 ＝ z4 ＝ z3 × z ＝ −z です。
ステップ4 逆数も同じように
1/z2026 ＝ 1/(−z) ＝ −1/z です。
ステップ5 足す
z2026 ＋ 1/z2026 ＝ −z − 1/z ＝ −(z ＋ 1/z) ＝ −1
答え
−1
z の値そのものを求めなくても、答えが出ます。
ひらめきで解く方法
z3 ＝ −1、つまり z6 ＝ 1 と分かれば、2026 を 6 で割った余り（4）だけが大切になります。
別の見方として、z ＝ cos 60° ± i sin 60° と表すと、ド・モアブルの定理で 2026 × 60° ＝ 240°（360°の倍数を除く）となり、同じ答えが得られます。
間違えやすいところ
- z3 ＝ 1 ではなく、z3 ＝ −1 になる
- 2026 を 6 で割った余りは 4（2026 ＝ 6 × 337 ＋ 4）
- 1/z2026 の処理で、符号を落とさない
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