【中3数学】ab＝2028 を満たす正の整数 a, b について (a－b)^2 の最小値は？整数の応用問題

今日の1問は、中3で習う整数の応用問題です。
ポイントは、2028 を積の形に分けたときに、a と b の差がいちばん小さくなる組を探すことです♪

今日の問題

正の整数 a、b が ab ＝ 2028 を満たすとき、(a − b)² の最小値を求めよ。

まずヒント

(a − b)² を小さくするには、a と b をなるべく近づければよいです。

ab ＝ 2028 のとき、a と b が等しければ √2028 になります。√2028 はおよそいくつでしょうか。

解き方

ステップ1　2028 を素因数分解する

2028 ＝ 2² × 3 × 13² です。

約数は 1、2、3、4、6、12、13、26、39、52、78、156、169、338、507、676、1014、2028 の18個です。

ステップ2　目安をつける

45² ＝ 2025、46² ＝ 2116 なので、√2028 は 45 より少しだけ大きい値（約 45.03）です。

a と b は、この 45 前後の約数の組になるときに、いちばん近づきます。

ステップ3　約数の中から探す

45 に近い約数は 39 と 52 です。39 × 52 ＝ 2028 で、積も合っています。

そのほかの約数の組は、26 × 78（差 52）、13 × 156（差 143）などで、39 と 52 より離れています。

ステップ4　値を求める

(a − b)² ＝ (52 − 39)² ＝ 13² ＝ 169

答え

169

(a, b) ＝ (39, 52) または (52, 39) のときです。

ひらめきで解く方法

積が決まっていて差を小さくしたいときは、「平方根の近く」の約数の組を探すのが基本です。

13² ＝ 169 は、2028 の素因数にも 13² が含まれていることとも関係しています。

間違えやすいところ

• a と b の積が 2028 であることを、必ず確かめます（39 × 52 ＝ 2028）
• 差は 52 − 39 ＝ 13 で、2乗して 169 にします（13 のままではありません）
• 45 や 46 は 2028 の約数ではありません。約数の中から選びます

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