今日の1問は、朝から頭が目覚める中3数学の超難問？
展開するか、因数分解するか…。あるひらめきで一気に道が開けます♪
今日の問題
正の整数 a、b が a ＞ b を満たしている。また、a2 − b2 ＋ 2a − 2b ＝ 2025 である。このとき、条件を満たす整数の組 (a, b) は全部で何組あるか。
まずヒント
左辺を、共通する (a − b) でくくれないか考えてみましょう。
a2 − b2 は (a ＋ b)(a − b) と因数分解できます。2a − 2b は 2(a − b) です。
解き方
ステップ1 左辺を因数分解する
a2 − b2 ＋ 2a − 2b ＝ (a ＋ b)(a − b) ＋ 2(a − b) ＝ (a − b)(a ＋ b ＋ 2)
つまり、(a − b)(a ＋ b ＋ 2) ＝ 2025 になります。
ステップ2 2025 を素因数分解する
2025 ＝ 34 × 52 です。約数は 1、3、5、9、15、25、27、45、75、81、135、225、405、675、2025 の15個です。
ステップ3 2つの数の関係を整理する
d ＝ a − b、e ＝ a ＋ b ＋ 2 とおくと、de ＝ 2025 です。
a ＞ b より d ≧ 1。また b が正の整数であることから、e − d ＝ 2b ＋ 2 ＞ 2 が必要です。
a ＝ (d ＋ e − 2) ÷ 2、b ＝ (e − d − 2) ÷ 2 で、2025 は奇数なので d も e も奇数になり、a、b は必ず整数になります。
ステップ4 組を数える
(d, e) ＝ (1, 2025)、(3, 675)、(5, 405)、(9, 225)、(15, 135)、(25, 81)、(27, 75) の7組が、すべて e − d ＞ 2 を満たします。
d ＝ e ＝ 45 のときは b ＝ −1 となり、正の整数ではないので入りません。
ステップ5 確かめる
たとえば (a, b) ＝ (50, 23) だと、2500 − 529 ＋ 100 − 46 ＝ 2025 になります。
答え
7組
(a, b) ＝ (1012, 1011)、(338, 335)、(204, 199)、(116, 107)、(74, 59)、(52, 27)、(50, 23) の7組です。
ひらめきで解く方法
ひらめきのカギは、「展開してから整理する」のではなく、「共通の (a − b) でくくる」ことです。2025 という数も、積の形にすると約数の問題になります。
(a − b) と (a ＋ b ＋ 2) の2つの数の積が 2025 だと分かれば、あとは 2025 の約数を書き出すだけです。
間違えやすいところ
- a ＞ b の条件を忘れると、d と e を入れ替えた組まで数えてしまいます
- b が正の整数であることから、d ＝ e ＝ 45 の組（b ＝ −1）を外します
- 因数分解の結果は (a − b)(a ＋ b ＋ 2) で、「2」を忘れないようにします
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