今日の1問は、黒板の数字を消していく問題です。
1つずつ計算すると大変…「変わらないもの」を探すのがポイント♪
今日の問題
黒板に 1 から 13 までの数字がある。2つの数 a, b を消し、a ＋ b − 1 を書く。この操作を、最後に数が1つになるまで繰り返す。最後に残る数を求めよ。
まずヒント
操作をしても「変わらないもの」を探します。
書く数が a＋b−1 と、「−1」がついているのが気になりますね。
すべての数から1を引いて考えると、どうなるでしょう。
解き方
ステップ1 すべての数から1を引いて考える
黒板の数 x を「x−1」で見ることにします。最初は 0, 1, 2, …, 12 になります。
ステップ2 操作の前後を比べる
a, b を消すと、(a−1) ＋ (b−1) が黒板からなくなります。新しく書く a＋b−1 は、1を引くと (a＋b−1)−1 ＝ a＋b−2 ＝ (a−1) ＋ (b−1)。
つまり「各数から1を引いた数の合計」は、何度操作しても変わりません。
ステップ3 最初の合計を出す
0 ＋ 1 ＋ 2 ＋ … ＋ 12 ＝ 78
ステップ4 最後の数を求める
最後に残る数を n とすると、n − 1 ＝ 78。だから n ＝ 79 です。
答え
79
どの順番で消しても、答えは同じです。
ひらめきで解く方法
操作をすると、2つの数 a, b が、a＋b−1 に変わります。合計は「a＋b」から「a＋b−1」になるので、1回ごとにちょうど1ずつ減ります。
13個の数が1個になるまでには12回の操作があります。最初の合計は 1 ＋ 2 ＋ … ＋ 13 ＝ 91 なので、91 − 12 ＝ 79。
こちらのほうが、計算が少なくて速いですね。
間違えやすいところ
- 操作の回数は 13 − 1 ＝ 12 回。13回ではない。
- 最初の合計は 1 ＋ 2 ＋ … ＋ 13 ＝ 91（13 × 14 ÷ 2）。
- 「−1」は、2つ消して1つ書くたびに、合計が1ずつ減るという意味。
- 消す順番を変えても、最後の数は変わらない（これが「不変」ということ）。
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