今日の1問は、100個も分数が並ぶ計算問題です。
全部計算するのはたいへん…と思ったら、ある形に変えてみましょう♪
今日の問題
次の値を求めよ。1/(1×2) ＋ 1/(2×3) ＋ 1/(3×4) ＋ … ＋ 1/(100×101)
まずヒント
1/(k×(k＋1)) という形の分数を、「引き算」の形に直せないか考えてみましょう。
たとえば 1/(1×2) ＝ 1/2 は、1 − 1/2 と同じ値です。
解き方
ステップ1 1つ分の分数を差の形にする
1/(k(k＋1)) ＝ 1/k − 1/(k＋1) と書けます。
右辺を通分すると ((k＋1) − k)/(k(k＋1)) ＝ 1/(k(k＋1)) となり、確かに等しくなります。
ステップ2 全部を差の形で書く
(1 − 1/2) ＋ (1/2 − 1/3) ＋ (1/3 − 1/4) ＋ … ＋ (1/100 − 1/101)
ステップ3 途中の項を消す
−1/2 と ＋1/2、−1/3 と ＋1/3 …というように、となり合う項が次々と打ち消し合います。
残るのは、いちばん最初の 1 と、いちばん最後の −1/101 だけです。
ステップ4 計算する
1 − 1/101 ＝ 100/101
答え
100/101
100個の和が、たった1つの分数になります。
ひらめきで解く方法
項を少なくして規則を探す方法もあります。1項だけなら 1/2、2項なら 2/3、3項なら 3/4 …となり、「n項の和は n/(n＋1)」と予想できます。
この予想に n ＝ 100 を入れても 100/101 で、ステップ3の答えと一致します。
間違えやすいところ
- 最後の分母は 100 ではなく 101 です（1 − 1/101）
- 消える項と残る項をよく見る（残るのは最初と最後だけ）
- 1/(k(k＋1)) ＝ 1/k − 1/(k＋1) の変形は、通分して確かめると安心です
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