【中3数学】辺の長さが分からない2つの正方形の面積の合計は？14cmの線1本で求める図形問題

今日の1問は、辺の長さが1つも分からない図形の問題です。
それでも、2つの正方形の面積の合計はピタッと求められます♪

今日の問題

並んだ2つの正方形がある。図のように、小さい正方形の左上の頂点と、大きい正方形の右上の頂点を結ぶと、長さは 14 cm である。2つの正方形の面積の合計を求めよ。

まずヒント

辺の長さは分からないので、小さい正方形の1辺を a、大きい正方形の1辺を b とおきます。

14 cm の線を斜辺にする直角三角形を作ると、三平方の定理が使えます。

解き方

ステップ1　直角三角形を作る

14 cm の線の両端から、水平な線と垂直な線を引いて直角三角形を作ります。

横の長さは a ＋ b、縦の長さは b − a です。

ステップ2　三平方の定理を使う

(a ＋ b)² ＋ (b − a)² ＝ 14²

ステップ3　展開して整理する

(a² ＋ 2ab ＋ b²) ＋ (a² − 2ab ＋ b²) ＝ 2a² ＋ 2b² ＝ 196

2ab が打ち消し合うのがポイントです。

ステップ4　面積の合計を求める

両辺を 2 で割ると a² ＋ b² ＝ 98。

a² と b² は、それぞれの正方形の面積なので、これが求める面積の合計です。

答え

98 cm²

a と b を別々に求めなくても、合計だけは決まります。

ひらめきで解く方法

a ＝ b ＝ 7 の特別な場合を考えて確かめられます。2つの正方形が同じ大きさなら、線は横にまっすぐで長さは a ＋ b ＝ 14。面積の合計は 49 ＋ 49 ＝ 98 で、答えと一致します。

「欲しいのは a² ＋ b²」と気づくと、展開した式の形がそのまま答えにつながります。

間違えやすいところ

• 縦の長さは a ＋ b ではなく、b − a です（大きい方から小さい方を引く）
• 答えは 2a² ＋ 2b² ＝ 196 の 196 ではなく、2 で割った 98 です
• 単位は cm²（面積）です

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