今日の1問は、計算力より発想力が試される整数問題です。
「7の倍数になる条件」をどう整理するかがポイントです♪
今日の問題
正の整数 a、b が a ＜ b、a ＋ b ＝ 100 を満たしている。このとき、ab が7の倍数になる組は何通りあるか。
まずヒント
a ＋ b ＝ 100 なので、b ＝ 100 − a と書けます。
7 は素数です。2つの数の積が7の倍数になるのは、どちらかが7の倍数のときです。
解き方
ステップ1 a の範囲を決める
b ＝ 100 − a で、a ＜ b より a ＜ 50 です。a は 1 から 49 までの整数になります。
ステップ2 ab が7の倍数になる条件
ab ＝ a(100 − a) が7の倍数になるのは、a が7の倍数、または 100 − a が7の倍数のときです。
ステップ3 a が7の倍数の場合
a ＝ 7、14、21、28、35、42、49 の 7通りです。
ステップ4 100 − a が7の倍数の場合
100 ＝ 7 × 14 ＋ 2 なので、100 − a が7の倍数になるのは、a を7で割った余りが 2 のときです。
a ＝ 2、9、16、23、30、37、44 の 7通りです。
ステップ5 合計する
この2つが同時に成り立つ a はありません（7で割った余りが 0 と 2 で、同時にはなれません）。
7 ＋ 7 ＝ 14 通りです。
答え
14通り
a ＝ 2、7、9、14、16、21、23、28、30、35、37、42、44、49 のときです。
ひらめきで解く方法
7 の倍数の並びを書き出す方法もあります。100 に近い 7 の倍数は 98 なので、b が 98 のとき a ＝ 2 です。このように、a と b の両方の側から数えてもかまいません。
「積が7の倍数 ⇔ どちらかが7の倍数」という性質を使えば、条件を2つに分けて数えるだけです。
間違えやすいところ
- a ＜ b なので a ＝ 50 は入りません（a ＝ b ＝ 50 になってしまいます）
- 100 を 7 で割った余りは 2 です（14 ではなく 2）
- a の候補が重なっていないか確かめてから、足し算します
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