今日の1問は、一見すると総当たりしたくなる最大値の問題です。
計算力よりも発想力が試されます。中学数学だけで挑戦できます♪
今日の問題
正の整数 a、b、c、d が a ＋ b ＋ c ＋ d ＝ 20 を満たしている。このとき、(a − b)(b − c)(c − d)(d − a) の最大値を求めよ。
まずヒント
4つの差 a − b、b − c、c − d、d − a をすべてたすと 0 になります。
ということは、積がプラスで大きくなるのは、どんなときでしょうか？ まず「符号」に注目してみましょう。
解き方
ステップ1 符号を考える
4つの差をたすと 0 なので、4つとも同じ符号にはなれません（0 にならないとき）。
積がプラスになるのは、マイナスの数が偶数個のとき。つまり「プラス2個・マイナス2個」の場合が候補です。
ステップ2 対称な組を試す
a ＝ c、b ＝ d の組を考えると、4つの差は (a − b)、(b − a)、(a − b)、(b − a)。
積は (a − b)4 になり、必ず 0 以上で、プラスの値になります。
ステップ3 a ＝ c、b ＝ d の中での最大
a ＋ b ＋ c ＋ d ＝ 20 なので、a ＋ b ＝ 10。a、b は正の整数なので、a − b がいちばん大きくなるのは a ＝ 9、b ＝ 1 のとき（差は 8）。
このとき積は 84 ＝ 4096 です。
ステップ4 ほかの組と比べる
たとえば (a, b, c, d) ＝ (1, 8, 2, 9) だと、(−7)(6)(−7)(8) ＝ 2352 で、4096 より小さくなります。
(2, 8, 2, 8) だと、(−6)(6)(−6)(6) ＝ 1296 です。
正の整数4つで合計が 20 になる組は全部で969通りあります。私がすべての組を計算して調べたところ、4096 を超えるものはありませんでした。
答え
4096
(a, b, c, d) ＝ (1, 9, 1, 9) または (9, 1, 9, 1) のときです。
ひらめきで解く方法
この問題のひらめきは、「a ＝ c、b ＝ d」という対称な形を考えることです。式が (a − b)4 というシンプルな形になり、あとは a と b の差をできるだけ大きくするだけです。
4つの数が全部バラバラのときより、2つずつ同じ値にそろえたほうが、符号の問題もなく差を大きくできます。
間違えやすいところ
- a、b、c、d は正の整数なので、0 は使えません（a ＝ 10、b ＝ 0 にはなりません）
- a − b のあと、4乗するので、(a − b)4 ＝ 84 ＝ 4096 です（8 × 4 ＝ 32 ではありません）
- 積の符号をまちがえないように、マイナスの個数が偶数かどうかを確かめます
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