今日の1問は、「全部で何種類あるか？」が曲者の整数問題です。
総当たりだけではミスしやすいので、積が72になる組を整理しましょう♪
今日の問題
正の整数 a、b、c が abc ＝ 72 を満たしている。このとき、a ＋ b ＋ c としてあり得る値は全部で何種類あるか。
まずヒント
a、b、c を入れ替えても、a ＋ b ＋ c の値は変わりません。
そこで、a ≦ b ≦ c として、小さい順に整理しましょう。
解き方
ステップ1 a ≦ b ≦ c で整理する
72 ＝ 23 × 32 です。a ≦ b ≦ c とすると、a ≦ ∛72 ＜ 5 なので、a は 1、2、3、4 のどれかです（a ＝ 4 は後で調べます）。
ステップ2 a ＝ 1 のとき（bc ＝ 72）
(1, 1, 72)：和は 74
(1, 2, 36)：和は 39
(1, 3, 24)：和は 28
(1, 4, 18)：和は 23
(1, 6, 12)：和は 19
(1, 8, 9)：和は 18
ステップ3 a ＝ 2 のとき（bc ＝ 36、b ≧ 2）
(2, 2, 18)：和は 22
(2, 3, 12)：和は 17
(2, 4, 9)：和は 15
(2, 6, 6)：和は 14
ステップ4 a ＝ 3、a ＝ 4 のとき
a ＝ 3 のとき bc ＝ 24（b ≧ 3）：(3, 3, 8)：和は 14、(3, 4, 6)：和は 13
a ＝ 4 のとき bc ＝ 18（b ≧ 4）：b ＝ 4 では 18 ÷ 4 が整数にならず、b ≧ 5 では c ＜ b になってしまうので、組はありません。
ステップ5 和の値を数える
和は 74、39、28、23、19、18、22、17、15、14、14、13 の12個。
14 が2回出てくる（(2, 6, 6) と (3, 3, 8)）ので、種類は 13、14、15、17、18、19、22、23、28、39、74 の11種類です。
答え
11種類
積が 72 になる組は12通りありますが、和が同じになる組が1つ重なっています。
ひらめきで解く方法
この問題のポイントは、「組の数」ではなく「和の種類」を数えるところです。同じ和になる組が重なっていないかを確かめます。
a ≦ b ≦ c と並べると、重複を避けて数えやすくなります。
間違えやすいところ
- (1, 8, 9) と (8, 1, 9) のように、並べ替えただけの組は同じ組として数えます
- 和が同じになる組（14 が2回）を、1種類として数えます
- 組の数（12通り）と、和の種類（11種類）を混同しないようにします
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