今日の1問は、「微分で解こう」と考えた方も多いかもしれない最小値の問題です。
実は、微分を使わずに2行で解ける？♪
今日の問題
x ＞ 0 のとき、x ＋ 37/x の最小値を求めよ。
まずヒント
x と 37/x の積に注目してみましょう。
積が x の値によらず一定になっていませんか？ そんなときは、相加平均と相乗平均の関係の出番です。
解き方
ステップ1 相加平均と相乗平均の関係を使う
x ＞ 0 なので、37/x ＞ 0 です。正の2数 x、37/x について、
x ＋ 37/x ≧ 2√(x × 37/x) ＝ 2√37
ステップ2 等号が成り立つ条件を確かめる
等号が成り立つのは x ＝ 37/x のとき。x2 ＝ 37 で、x ＞ 0 より x ＝ √37 です。
この x は条件 x ＞ 0 を満たすので、実際に最小値 2√37 になります。
ステップ3 確かめる
x ＝ 6 のとき、6 ＋ 37/6 ＝ 12.1666…、2√37 ＝ 12.1655…。たしかにわずかに大きくなっています。
x ＝ √37 のとき、√37 ＋ 37/√37 ＝ √37 ＋ √37 ＝ 2√37 です。
答え
2√37
x ＝ √37 のときに最小になります。（約 12.17）
ひらめきで解く方法
微分を使わない方法には、平方の形を作る方法もあります。(√x − √(37/x))2 ≧ 0 を展開すると、x − 2√37 ＋ 37/x ≧ 0 となり、x ＋ 37/x ≧ 2√37 が出てきます。
「和を最小にしたいとき、積が一定なら、2つの数を等しくする」というのが基本です。
間違えやすいところ
- 等号が成り立つか（そのような x が条件を満たすか）を、必ず確かめます
- 最小値は 2√37 で、x の値の √37 ではありません
- x ＞ 0 の条件があるので、相加平均・相乗平均が使えます（x ＜ 0 のときは使えません）
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