【中3数学】異なる正の整数 a, b, c の積が36のとき、a^2＋b^2＋c^2 の最小値は？1分で見つけられる？

今日の1問は、1分で解けるかを競う中3数学です。
計算力よりも、「どの3つを選ぶか」が勝負です♪

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今日の問題

異なる正の整数 a, b, c の積が abc ＝ 36 のとき、a² ＋ b² ＋ c² の最小値を求めよ。

まず、積が 36 になる3つの正の整数の組を、もれなく書き出します。

「異なる」という条件で、同じ数をふくむ組は除きます。

ステップ1　小さい順に整理する

a ＜ b ＜ c として、abc ＝ 36 になる組を探します。

ステップ2　a で場合分けする

a ＝ 1 のとき、bc ＝ 36 で (b, c) ＝ (2, 18)、(3, 12)、(4, 9)。（6, 6）は同じ数なので除きます。
a ＝ 2 のとき、bc ＝ 18 で (b, c) ＝ (3, 6)。
a ＝ 3 以上では、条件に合う組はありません。

ステップ3　2乗の和を計算する

(1, 2, 18) → 1 ＋ 4 ＋ 324 ＝ 329
(1, 3, 12) → 1 ＋ 9 ＋ 144 ＝ 154
(1, 4, 9) → 1 ＋ 16 ＋ 81 ＝ 98
(2, 3, 6) → 4 ＋ 9 ＋ 36 ＝ 49

ステップ4　最小を選ぶ

いちばん小さいのは (2, 3, 6) のときの 49 です。

(a, b, c) ＝ (2, 3, 6)（並べかえを含む）のときです。

積が決まっているとき、2乗の和は「3つの数が近いほど小さい」という性質があります。

36 の約数でいちばん均等な組 (2, 3, 6) を見つければ、全部書き出さなくても答えが見えます。

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明日の1問もお楽しみに♪

あなたが作った一問が、誰かの「解きたい！」に変わるかもしれません。
投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。