この問題は、Instagramのリールで35万回以上再生された人気問題です。
今日の1問は、中3数学。和と積の関係から候補をしぼり込んでいく、整数問題の王道パターンです♪
今日の問題
a，b は正の整数で、ab(a ＋ b) ＝ 4320 を満たす。このとき、a ＋ b のとり得る値をすべて求めよ。
まずヒント
a ＋ b ＝ s，ab ＝ p とおくと、条件式は s と p だけで書けます。
s の範囲をしぼって、候補を少なくしましょう。
解き方
ステップ1 s と p でおく
a ＋ b ＝ s，ab ＝ p とすると、条件は s × p ＝ 4320 です。つまり s は 4320 の約数で、p ＝ 4320 ÷ s です。
ステップ2 s の下限を求める
(a − b)2 ≧ 0 より s2 ≧ 4p です。両辺に s をかけると s3 ≧ 4sp ＝ 17280 となります。253 ＝ 15625，263 ＝ 17576 なので、s ≧ 26 です。
ステップ3 s の上限を求める
a，b は 1 以上の整数なので (a − 1)(b − 1) ≧ 0、つまり p ≧ s − 1 です。p ＝ 4320 ÷ s を代入すると 4320 ≧ s(s − 1) となります。66 × 65 ＝ 4290，67 × 66 ＝ 4422 なので、s ≦ 66 です。
ステップ4 約数の候補を書き出す
4320 ＝ 25 × 33 × 5 です。26 以上 66 以下の約数は 27，30，32，36，40，45，48，54，60 の 9 個です。
ステップ5 判別式で確かめる
a，b は t2 − st ＋ p ＝ 0 の解なので、s2 − 4p が平方数になる必要があります。s ＝ 27（p ＝ 160）→ 89、s ＝ 30（p ＝ 144）→ 324 ＝ 182、s ＝ 32（p ＝ 135）→ 484 ＝ 222、s ＝ 36（p ＝ 120）→ 816、s ＝ 40（p ＝ 108）→ 1168、s ＝ 45（p ＝ 96）→ 1641、s ＝ 48（p ＝ 90）→ 1944、s ＝ 54（p ＝ 80）→ 2596、s ＝ 60（p ＝ 72）→ 3312。平方数になるのは s ＝ 30 と s ＝ 32 だけです。
ステップ6 実際に確かめる
s ＝ 30 のとき (a, b) ＝ (6, 24)，s ＝ 32 のとき (a, b) ＝ (5, 27) です。6 × 24 × 30 ＝ 4320，5 × 27 × 32 ＝ 4320 となり、どちらも条件を満たします。
答え
30 と 32
a ＋ b ＝ 30（a，b ＝ 6，24）と、a ＋ b ＝ 32（a，b ＝ 5，27）の 2 通りです。
ひらめきで解く方法
a，b を直接探すより、まず a ＋ b を決める方が候補が少なくなります。ab(a ＋ b) の形を見たら「s ＝ a ＋ b，p ＝ ab」とおく、が定番の入り口です。
約数の一覧を作ってから、判別式 s2 − 4p が平方数かどうかだけを順に確かめればOKです。
間違えやすいところ
- a ＋ b の範囲をしぼらずに、4320 の約数をすべて調べようとして時間がかかる。
- 判別式が平方数にならないと、a，b が整数にならないことを見落とす。
- (a, b) ＝ (6, 24) と (24, 6) を別々の答えとして数えてしまう（求めるのは a ＋ b の値です）。
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