今日の1問は、中3数学。文字が2つもあって大変そうに見えますが、式の形を変えて調べる範囲をしぼれば、きちんと全部見つけられます♪
今日の問題
次の式を満たす正の整数の組 (x, y) を、すべて求めよ。ただし、x ＜ y とする。
x2 ＋ xy ＋ y2 ＝ 1911
まずヒント
x2 ＋ xy ＋ y2 は、そのままだと扱いにくい形です。両辺を4倍して、(2x ＋ y)2 を作れないか考えてみましょう。また、x ＜ y という条件を使うと、y のとりうる範囲もぐっとせまくなります。
解き方
ステップ1 両辺を4倍して平方の形にする
両辺を4倍すると、4x2 ＋ 4xy ＋ 4y2 ＝ 7644 です。4x2 ＋ 4xy ＋ y2 ＝ (2x ＋ y)2 なので、(2x ＋ y)2 ＋ 3y2 ＝ 7644 と書き直せます。つまり (2x ＋ y)2 ＝ 7644 － 3y2 となり、7644 － 3y2 が整数の2乗（平方数）になる y を探せばよい、という問題に変わります。
ステップ2 y の範囲をしぼる
x ＜ y なので、1911 ＝ x2 ＋ xy ＋ y2 ＜ 3y2 です。よって y2 ＞ 637 となり、252 ＝ 625、262 ＝ 676 から y ≧ 26 です。一方、x ≧ 1 なので y2 ＜ 1911 で、432 ＝ 1849、442 ＝ 1936 から y ≦ 43 です。したがって、調べるのは 26 ≦ y ≦ 43 の18通りだけです。
ステップ3 平方数になる y を探す
y ＝ 26 から 43 まで順に 7644 － 3y2 を計算すると、平方数になるのは次の3つだけです。
y ＝ 31 のとき 4761 ＝ 692
y ＝ 35 のとき 3969 ＝ 632
y ＝ 41 のとき 2601 ＝ 512
ステップ4 x を求めて確かめる
2x ＋ y ＝ √(7644 － 3y2) より、y ＝ 31 なら 2x ＋ 31 ＝ 69 で x ＝ 19、y ＝ 35 なら 2x ＋ 35 ＝ 63 で x ＝ 14、y ＝ 41 なら 2x ＋ 41 ＝ 51 で x ＝ 5 です。確かめると、192 ＋ 19×31 ＋ 312 ＝ 361 ＋ 589 ＋ 961 ＝ 1911、142 ＋ 14×35 ＋ 352 ＝ 196 ＋ 490 ＋ 1225 ＝ 1911、52 ＋ 5×41 ＋ 412 ＝ 25 ＋ 205 ＋ 1681 ＝ 1911 で、どれも x ＜ y を満たしています。
答え
(x, y) ＝ (5, 41)，(14, 35)，(19, 31)
条件を満たす組は、この3組だけです。
ひらめきで解く方法
x2 ＋ xy ＋ y2 ＝ (x － y)2 ＋ 3xy と変形してみます。1911 は 3 の倍数なので、(x － y)2 も 3 の倍数になり、x － y は 3 の倍数だとわかります。そこで y ＝ x ＋ 3k（k は正の整数）とおくと、式は x2 ＋ 3kx ＋ 3k2 ＝ 637 になります。3k2 ＜ 637 から k ≦ 14 で、さらに4倍して整理すると (2x ＋ 3k)2 ＝ 2548 － 3k2 です。これが平方数になるのは k ＝ 4，7，12 のときで、それぞれ x ＝ 19，14，5 が得られ、先ほどと同じ3組になります。「差が3の倍数」と見抜くと、x と y の関係がきれいに整理できます。
間違えやすいところ
- x ＜ y の条件を忘れて、(41, 5) のように x と y を入れかえた組まで答えに入れてしまう。
- y の範囲をしぼらずに調べはじめて、どこまで調べればよいかわからなくなる。
- 7644 － 3y2 が平方数かどうかの判定で、計算ミスをする。692 ＝ 4761 のように、平方数の見当をつけておくと安心です。
- 「正の整数」という条件を見落として、0 や負の数まで考えてしまう。
計算や式でつまずいたら
今日の問題でつまずく原因は、もっと前の単元にあることもあります。
「数学つまずき診断」なら、小学校の単元までさかのぼって、つまずきの出発点を探せます。
無料体験版はダウンロードで、登録不要です。
毎日1問、出しています
動画は毎日更新中です。
明日の1問もお楽しみに♪
自作の数学問題、投稿してみませんか？
あなたが作った一問が、誰かの「解きたい！」に変わるかもしれません。
投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。
👉 問題を投稿する
コメント