今日の1問は、高1数学の整数問題。「全部書き出すしかないのかな？」と思いきや、7で割った余りに注目すると、きれいな規則が見えてきます♪
今日の問題
1から100までの整数 n のうち、n2＋n＋1 が7の倍数になるものは何個あるでしょうか。
まずヒント
「7の倍数かどうか」は、n そのものではなく、n を7で割った余りだけで決まります。余りは0〜6の7通りしかないので、7回調べれば十分です。
解き方
ステップ1 余りだけに注目する
n を7で割った余りを r とすると、n2＋n＋1 を7で割った余りは、r2＋r＋1 を7で割った余りと同じです。n＝7k＋r と書いて展開すると、7の倍数の部分が消えるからです。
ステップ2 r＝0〜6 をぜんぶ調べる
r＝0 のとき 1、r＝1 のとき 3、r＝2 のとき 7、r＝3 のとき 13、r＝4 のとき 21、r＝5 のとき 31、r＝6 のとき 43。このうち7の倍数になるのは、7と21、つまり r＝2 と r＝4 の2つだけです。
ステップ3 1〜100 にいくつあるか数える
1〜98 は7個ずつの14組に分かれ、どの組にも「余り2」と「余り4」が1個ずつ入っているので 14×2＝28個。残りの99と100は、余りがそれぞれ1と2なので、100だけが当てはまります。合計 28＋1 です。
答え
29個
「余りが2か4」という条件を、7ごとのくり返しで数えるのがコツです。
ひらめきで解く方法
n3－1＝(n－1)(n2＋n＋1) という因数分解に注目します。n2＋n＋1 が7の倍数なら、n3 を7で割った余りは1になります。逆に、n3 の余りが1で、n の余りが1でないなら、n－1 は7の倍数ではないので、n2＋n＋1 が7の倍数になります。
余りを3乗して1になるのは、余りが1、2、4のときだけです（23＝8、43＝64＝63＋1）。余り1を除けば、余り2と4が残ります。表を作らなくても、同じ結論にたどり着けます。
間違えやすいところ
- 余り2のものだけ数えて、余り4を忘れてしまう。
- 「100÷7＝14あまり2」から 14×2＝28個で終わりにして、端数の100（余り2）を数え忘れる。
- 7で割った余りを取らずに、13や21、31のまま比べてしまう。
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