【高校数学】x^2－3x＋1＝0 の解を a, b とするとき 1/(a^2026＋1)＋1/(b^2026＋1) の値は？｜解き方を解説

今日の1問は、2026乗が出てくる2次方程式の問題です。
見た目は怖いけれど、実は解そのものを求めなくても解けます♪

今日の問題

2次方程式 x² − 3x ＋ 1 ＝ 0 の2つの実数解を a、b とするとき、1/(a²⁰²⁶ ＋ 1) ＋ 1/(b²⁰²⁶ ＋ 1) の値を求めよ。

まずヒント

2次方程式の解と係数の関係から、a ＋ b と ab が分かります。

特に ab の値に注目してください。b を a で表せませんか？

解き方

ステップ1　解と係数の関係を使う

x² − 3x ＋ 1 ＝ 0 の解を a、b とすると、a ＋ b ＝ 3、ab ＝ 1 です。

ab ＝ 1 なので、b ＝ 1/a です（a は 0 ではありません）。

ステップ2　2つ目の分数を a で書き直す

1/(b²⁰²⁶ ＋ 1) ＝ 1/((1/a)²⁰²⁶ ＋ 1) ＝ 1/(1/a²⁰²⁶ ＋ 1)

分母と分子に a²⁰²⁶ をかけると、a²⁰²⁶/(1 ＋ a²⁰²⁶) になります。

ステップ3　2つの分数を足す

1/(a²⁰²⁶ ＋ 1) ＋ a²⁰²⁶/(a²⁰²⁶ ＋ 1) ＝ (1 ＋ a²⁰²⁶)/(a²⁰²⁶ ＋ 1) ＝ 1

分母が同じになったので、そのまま足せて、分母と分子が同じ式になります。

ステップ4　小さい指数で確かめる

指数を 1 にしてみます。1/(a ＋ 1) ＋ 1/(b ＋ 1) ＝ (a ＋ b ＋ 2)/(ab ＋ a ＋ b ＋ 1) ＝ 5/5 ＝ 1 となり、同じ結果になります。

答え

1

a と b を実際に求めなくても、値は 1 と決まります。

ひらめきで解く方法

この問題の 2026 は、じつは何乗でもかまいません。ab ＝ 1 のとき、1/(aⁿ ＋ 1) ＋ 1/(bⁿ ＋ 1) はいつも 1 になります。

2026乗という大きな数に惑わされず、「a と b は逆数の関係」と気づけたら勝ちです。

間違えやすいところ

• a²⁰²⁶ を計算しようとしない（計算できない大きさです）
• 解と係数の関係で、a ＋ b ＝ 3（符号に注意）、ab ＝ 1 と読み取る
• 1/(b²⁰²⁶ ＋ 1) を変形するときは、分母と分子の両方に a²⁰²⁶ をかける

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