この問題は、Instagramのリールで10万回以上再生された人気の超難問？
今日の1問は、中3数学。「ある変形」に気づけるかが勝負です♪
今日の問題
正の整数 a, b, c が a ＋ b ＋ c ＝ 34 を満たしている。このとき、ab ＋ bc ＋ ca ＝ 299 となる組は存在するか。
まずヒント
まず c を1つ決めたと考えます。そうすると、a ＋ b と ab が分かります。
a, b は、ある2次方程式の2つの解になります。整数の解があるための条件は、判別式が平方数であることです。
解き方
ステップ1 c を決めたときの a ＋ b と ab
a ＋ b ＝ 34 − c です。また ab ＋ c(a ＋ b) ＝ 299 なので、ab ＝ 299 − c(34 − c) ＝ c2 − 34c ＋ 299 です。
ステップ2 2次方程式にする
a, b は t2 − (34 − c)t ＋ (c2 − 34c ＋ 299) ＝ 0 の2つの解です。判別式は D ＝ (34 − c)2 − 4(c2 − 34c ＋ 299) ＝ −3c2 ＋ 68c − 40 です。
ステップ3 c の範囲をしぼる
D ≧ 0 より 3c2 − 68c ＋ 40 ≦ 0 なので、c は 1 以上 22 以下です。
ステップ4 D が平方数になる c を探す
1 から 22 まで調べると、D が平方数になるのは c ＝ 1、5、7、14、19、22 のときです（D ＝ 25、225、289、324、169、4）。
ステップ5 実際に見つける
c ＝ 1 のとき、t2 − 33t ＋ 266 ＝ (t − 14)(t − 19) ＝ 0 より、(a, b, c) ＝ (14, 19, 1)。
c ＝ 22 のとき、t2 − 12t ＋ 35 ＝ (t − 5)(t − 7) ＝ 0 より、(a, b, c) ＝ (5, 7, 22)。
ステップ6 確かめる
(14, 19, 1)：14 ＋ 19 ＋ 1 ＝ 34、14 × 19 ＋ 19 × 1 ＋ 1 × 14 ＝ 266 ＋ 19 ＋ 14 ＝ 299。
(5, 7, 22)：5 ＋ 7 ＋ 22 ＝ 34、5 × 7 ＋ 7 × 22 ＋ 22 × 5 ＝ 35 ＋ 154 ＋ 110 ＝ 299。
答え
存在する
例えば (a, b, c) ＝ (1, 14, 19)、(5, 7, 22) があります（並べかえを除いて2組）。
ひらめきで解く方法
「a ＋ b ＋ c ＝ 34」と「ab ＋ bc ＋ ca ＝ 299」から、a2 ＋ b2 ＋ c2 ＝ 342 − 2 × 299 ＝ 558 と分かります。
「和が 34、2乗の和が 558 になる3つの正の整数」と言いかえて、12 ＋ 142 ＋ 192 ＝ 1 ＋ 196 ＋ 361 ＝ 558 のような組を探す方法もあります。
間違えやすいところ
- c を決めたら、a ＋ b と ab の2つが分かるので、2次方程式の解として考える
- 判別式が平方数でなければ、整数の解にならない
- (1, 14, 19) と (5, 7, 22) は、並べかえた組を別々に数えない
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