この問題は、Instagramのリールで12万回以上再生された人気問題です。
今日の1問は、高1数学の難問。数字が大きくても、力技で計算する必要はありません♪
今日の問題
整数 x に対して、x2 − 2026x ＋ 2026 が平方数となるような整数 x は存在するか。
まずヒント
2026 のすぐ近くの数を、実際に代入してみましょう。
平方完成すると、「2乗 − 2乗 ＝ かけ算」の形になります。
解き方
ステップ1 代入して試す
x ＝ 1 を代入すると 1 − 2026 ＋ 2026 ＝ 1 ＝ 12 で、平方数です。x ＝ 2025 でも 2025 × (2025 − 2026) ＋ 2026 ＝ −2025 ＋ 2026 ＝ 1 で、平方数になります。
ステップ2 ほかにもないか調べる（平方完成）
x2 − 2026x ＋ 2026 ＝ (x − 1013)2 − 10132 ＋ 2026 ＝ (x − 1013)2 − 1013 × 1011 です。
ステップ3 平方数 m2 とおく
(x − 1013)2 − m2 ＝ 1013 × 1011 ＝ 1024143 なので、(x − 1013 − m)(x − 1013 ＋ m) ＝ 1024143 です。
ステップ4 約数の組で調べる
1024143 ＝ 3 × 337 × 1013 です。2つの因数の組は (1, 1024143)、(3, 341381)、(337, 3039)、(1011, 1013) の4通りで、それぞれ x − 1013 ＝ (2つの数の和) ÷ 2 ＝ 512072、170692、1688、1012 となります。
ステップ5 x を求める
x ＝ 1013 ± 512072、1013 ± 170692、1013 ± 1688、1013 ± 1012 より、x は全部で8個あります。
答え
存在する
x ＝ 1、2025 などで平方数（値は 1）になります。全部で8個で、x ＝ −511059、−169679、−675、1、2025、2701、171705、513085 です。
ひらめきで解く方法
「存在するか」を聞かれているので、1つ見つければ答えは「存在する」です。2026 のすぐ近くの x ＝ 1 や x ＝ 2025 を試すと、すぐに見つかります。
ほかの解まで調べたいときは、平方完成して「2乗 − 2乗」を因数分解します。
間違えやすいところ
- 「存在するか」の問題は、1つ見つければ十分（全部を求める必要はない）
- x ＝ 1 と x ＝ 2025 のように、解は左右対称に現れる
- 10132 − 2026 ＝ 1013 × 1011 の計算に注意
計算や式でつまずいたら
今日の問題でつまずく原因は、もっと前の単元にあることもあります。
「数学つまずき診断」なら、小学校の単元までさかのぼって、つまずきの出発点を探せます。
無料体験版はダウンロードで、登録不要です。
毎日1問、出しています
動画は毎日更新中です。
明日の1問もお楽しみに♪
自作の数学問題、投稿してみませんか？
あなたが作った一問が、誰かの「解きたい！」に変わるかもしれません。
投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。
👉 問題を投稿する
コメント