この問題は、Instagramのリールで20万回以上再生された人気問題です。
今日の1問は、中2数学。和が一定のとき、2乗の和をいちばん小さくするには？ 式変形ひとつで一瞬で決まる？♪
今日の問題
a，b は正の整数で、a ＋ b ＝ 100 を満たす。このとき、a2 ＋ b2 の最小値を求めよ。
まずヒント
a2＋b2 を、a＋b と a−b を使って表せないでしょうか。
(a＋b)2 と (a−b)2 を展開して足してみましょう。
解き方
ステップ1 式を変形する
(a ＋ b)2 ＋ (a − b)2 ＝ 2a2 ＋ 2b2 なので、a2 ＋ b2 ＝ {(a ＋ b)2 ＋ (a − b)2} ÷ 2 です。
ステップ2 a＋b ＝ 100 を代入する
a2 ＋ b2 ＝ {10000 ＋ (a − b)2} ÷ 2 となります。
ステップ3 最小になる条件を考える
(a − b)2 ≧ 0 なので、a2 ＋ b2 ≧ 10000 ÷ 2 ＝ 5000 です。等号は a ＝ b のときで、a ＝ b ＝ 50 は正の整数なので実際に実現できます。
答え
5000
a ＝ b ＝ 50 のとき
ひらめきで解く方法
a ＝ 50 ＋ t，b ＝ 50 − t とおくと、a2 ＋ b2 ＝ 5000 ＋ 2t2 になります。t ＝ 0 のとき最小です。
50 からずれるほど 2乗の和は大きくなる、とイメージすると覚えやすいです。
間違えやすいところ
- (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ b2 と思い込んでしまう。
- a ＝ 1，b ＝ 99 のような極端な値で最小になると勘違いする。
- 等号が成り立つ（a ＝ b ＝ 50 が実際にある）ことを確かめずに終わる。
計算や式でつまずいたら
今日の問題でつまずく原因は、もっと前の単元にあることもあります。
「数学つまずき診断」なら、小学校の単元までさかのぼって、つまずきの出発点を探せます。
無料体験版はダウンロードで、登録不要です。
毎日1問、出しています
動画は毎日更新中です。
明日の1問もお楽しみに♪
自作の数学問題、投稿してみませんか？
あなたが作った一問が、誰かの「解きたい！」に変わるかもしれません。
投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。
👉 問題を投稿する
コメント