【Instagram47万回再生】【高1数学】x＋y＝3，xy＝1 のとき、x^10＋y^10 の値は？

この問題は、Instagramのリールで47万回以上再生された人気問題です。
今日の1問は、高1数学。x¹⁰ を直接計算する必要はありません。漸化式を使うと、スルスル求まります♪

タップして再生

Instagramのリールを再生

今日の問題

x ＋ y ＝ 3，xy ＝ 1 のとき、x¹⁰ ＋ y¹⁰ の値を求めよ。

まずヒント

x¹⁰ ＋ y¹⁰ をそのまま展開するのは大変です。

xⁿ ＋ yⁿ を、n が小さい方から順に求めていく方法を考えてみましょう。

解き方

ステップ1　xⁿ ＋ yⁿ を S_n とおく

S_n ＝ xⁿ ＋ yⁿ とおきます。S₁ ＝ x ＋ y ＝ 3，S₂ ＝ (x ＋ y)² − 2xy ＝ 9 − 2 ＝ 7 です。

ステップ2　漸化式を作る

x，y は t² − 3t ＋ 1 ＝ 0 の解なので、x² ＝ 3x − 1，y² ＝ 3y − 1 です。両辺にそれぞれ xⁿ，yⁿ をかけて足すと、S_n＋2 ＝ 3S_n＋1 − S_n が成り立ちます。

ステップ3　順に計算する

S₁ ＝ 3，S₂ ＝ 7 から、S₃ ＝ 3 × 7 − 3 ＝ 18，S₄ ＝ 3 × 18 − 7 ＝ 47，S₅ ＝ 3 × 47 − 18 ＝ 123，S₆ ＝ 3 × 123 − 47 ＝ 322，S₇ ＝ 3 × 322 − 123 ＝ 843，S₈ ＝ 3 × 843 − 322 ＝ 2207，S₉ ＝ 3 × 2207 − 843 ＝ 5778，S₁₀ ＝ 3 × 5778 − 2207 ＝ 15127 となります。

答え

15127

x¹⁰ ＋ y¹⁰ ＝ 15127

ひらめきで解く方法

S₅ だけ求めて、2乗で一気に S₁₀ まで行く方法もあります。S₂ × S₃ ＝ S₅ ＋ (xy)²S₁ より、S₅ ＝ 7 × 18 − 3 ＝ 123 です。

さらに (x⁵ ＋ y⁵)² ＝ x¹⁰ ＋ y¹⁰ ＋ 2(xy)⁵ なので、S₁₀ ＝ 123² − 2 ＝ 15129 − 2 ＝ 15127 と、少ない計算で求まります。

間違えやすいところ

x¹⁰ ＋ y¹⁰ を二項定理などで展開しようとして、計算が膨らんでしまう。
S₂ ＝ (x ＋ y)² − 2xy の「− 2xy」を忘れる。
漸化式の符号を S_n＋2 ＝ 3S_n＋1 ＋ S_n と書き間違える。

計算や式でつまずいたら

今日の問題でつまずく原因は、もっと前の単元にあることもあります。

「数学つまずき診断」なら、小学校の単元までさかのぼって、つまずきの出発点を探せます。
無料体験版はダウンロードで、登録不要です。

👉 苦手を克服する｜数学つまずき診断を見る

👉 過去の「今日の1問」をぜんぶ見る

毎日1問、出しています

動画は毎日更新中です。

明日の1問もお楽しみに♪

自作の数学問題、投稿してみませんか？

あなたが作った一問が、誰かの「解きたい！」に変わるかもしれません。
投稿された問題は、いつでも解けます。今日は、どんな問題が待っているでしょう。

👉 問題を投稿する

👉 投稿された問題を解いてみる