今日の1問は、高1数学。同じ誕生日の2人がいる確率を、「余事象」の考え方で計算します♪
今日の問題
1年を365日として、誕生日はどの日も同じ確率とします。
同じ誕生日の2人がいる確率が初めて50%をこえるのは、何人集まったときか求めよ。
まずヒント
「同じ誕生日の2人がいる」を直接数えるのは大変です。逆に「全員の誕生日がバラバラ」になる確率を考えて、1から引くのがコツです。
解き方
ステップ1 余事象で考える
n人のうち少なくとも1組が同じ誕生日になる確率は、（全員の誕生日がちがう確率）を1から引いたものです。
ステップ2 全員ちがう確率を式にする
1人目は365通りのどれでもよく、2人目は364通り、3人目は363通り……と選べるので、全員ちがう確率は 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × (365−n+1)/365 です。
ステップ3 n＝22 と n＝23 を計算する
n＝22 のとき、全員ちがう確率は約 0.5243 なので、同じ誕生日がいる確率は 1−0.5243＝約 0.4757（約47.6%）で、50%に届きません。n＝23 のとき、全員ちがう確率は約 0.4927 なので、同じ誕生日がいる確率は 1−0.4927＝約 0.5073（約50.7%）で、初めて50%をこえます。
ステップ4 人数が増えると確率は大きくなる
人数が増えるほど「全員ちがう」確率は小さくなり、その分、「同じ誕生日がいる」確率は大きくなります。だから、50%を初めてこえるのは22人から23人になった瞬間です。
答え
23人
23人が集まると、同じ誕生日の2人がいる確率は約50.7%になり、22人のとき（約47.6%）から初めて50%をこえます。
ひらめきで解く方法
人数ではなく「ペアの数」に注目すると、おおよその見当がつきます。23人から2人を選ぶ組み合わせは 23×22÷2＝253組あります。
1組が同じ誕生日になる確率は 1/365 なので、253組すべてがちがう確率は、おおよそ (1−1/365) を253回かけたものになり、約0.5です。つまり「253組もあるから、1組くらいは一致しやすい」と考えるのがポイントです。
間違えやすいところ
- 「365人の半分くらい（約183人）必要」と直感で答えてしまう。実際は、2人の組み合わせの数が人数よりずっと速く増えるので、23人でこえます。
- 「自分と同じ誕生日の人がいる」確率と混同する。それは別の問題で、50%をこえるのに必要な人数は253人です。今回は「誰かと誰か」でよいので、はるかに少ない人数です。
- 1 から引くのを忘れて、「全員ちがう確率」のまま答えてしまう。
- 計算では、うるう年は考えず、1年を365日としています。
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