今日の1問は、見た目は図形の問題ですが、実は方程式の考え方でスッキリ解ける問題です。
グラフを実際にかかなくても解けます♪
今日の問題
放物線 y ＝ x2 と直線 y ＝ 2x ＋ a が、ただ1点で接するとき、a の値を求めよ。
まずヒント
2つのグラフの共有点は、2つの式を連立させたときの解に対応します。
「ただ1点で接する」とは、連立してできる2次方程式が、ただ1つの解（重解）をもつということです。
解き方
ステップ1 連立して方程式を作る
y ＝ x2 と y ＝ 2x ＋ a から y を消すと、x2 ＝ 2x ＋ a。
整理して x2 − 2x − a ＝ 0 です。
ステップ2 重解の条件を使う
この2次方程式がただ1つの解（重解）をもつには、判別式 D ＝ 0 になればよいです。
D ＝ (−2)2 − 4 × 1 × (−a) ＝ 4 ＋ 4a です。
ステップ3 a を求める
4 ＋ 4a ＝ 0 より a ＝ −1 です。
ステップ4 確かめる
a ＝ −1 のとき、x2 − 2x ＋ 1 ＝ 0、つまり (x − 1)2 ＝ 0 で、x ＝ 1 の重解です。
接点は (1, 1)。直線 y ＝ 2x − 1 は x ＝ 1 のとき y ＝ 1 になり、放物線 y ＝ x2 の (1, 1) を通ります。
答え
a ＝ −1
接点は (1, 1) で、直線は y ＝ 2x − 1 です。
ひらめきで解く方法
「接する」＝「重解をもつ」と覚えておくと、グラフをかかなくても解けます。
平方完成で考える方法もあります。x2 − 2x − a ＝ (x − 1)2 − 1 − a と書けるので、−1 − a ＝ 0 のとき、つまり a ＝ −1 のとき、(x − 1)2 ＝ 0 になります。
間違えやすいところ
- 判別式 D ＝ b2 − 4ac で、x2 − 2x − a ＝ 0 の c は −a です（−4ac ＝ ＋4a）
- 「異なる2点で交わる」は D ＞ 0、「接する」は D ＝ 0 です
- D ＝ 0 から出た a の値は、x ＝ 1 を代入して確かめておくと安心です
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